湖南省岳阳市城区二十八校2021年数学中考一模联考试卷

试卷更新日期：2021-09-16 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 电梯上升16层记为+16，下降5层记为（）

A、+5 B、 $| 5 |$ C、 $5^{﹣ 1}$ D、-5

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2. 下列因式分解正确的是（）

A、 $x^{2} - 9 = (x + 3) (x ﹣ 3)$ B、 $a^{3} + 2 a^{2} b + a b^{2} = a b {(a + b)}^{2}$ C、 $a^{3} + a = a^{2} (a + \frac{1}{a})$ D、 $x^{2} - 2 x y + 4 y^{2} = {(x - 2 y)}^{2}$

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3.
图中是一个少数民族手鼓的轮廓图，其主视图是（　　）

A、 B、 C、 D、

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4. 岳阳是国家历史文化名城，区域内的岳阳楼、君山岛、张谷英村、屈子祠、左宗棠故居都有深厚的文化底蕴.某班同学分小组到以上五个地方进行研学旅行，人数分别为：13，8，12，9，8（单位：人），这组数据的众数和中位数分别是（）

A、9人，8人 B、8人，12人 C、8人，9人 D、9人，12人

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5. 不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{x + 2}{3} \geq 0 \\ x - 1 < 0 \end{array}$ 的解集在数轴上表示为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交 $A B$ ，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径作弧，两弧相交于点P；作射线BP交AC于点D，若CD=4，则点D到 $A B$ 的距离为（）

A、4 B、3 C、 $\sqrt{7}$ D、1

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7. 下列命题是真命题的是（）

A、同弧所对的圆心角相等 B、对角线互相垂直的四边形是菱形 C、二次函数 $y = a x^{2} + b x (a b \neq 0)$ 的图象与坐标轴有两个交点 D、若 $a > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$

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8. 如图，点 $A_{1} ， A_{2} ， A_{3} \dots$ 在反比例函数 $y = \frac{1}{x} (x > 0)$ 的图象上，点 $B_{1} ， B_{2} ， B_{3} \dots B_{n}$ 在 $y$ 轴上，且 $∠ B_{1} O A_{1} = ∠ B_{2} B_{1} A_{2} = ∠ B_{3} B_{2} A_{3} = \dots$ ，直线 $y = x$ 与双曲线 $y = \frac{1}{x}$ 交于点 $A_{1} ， B_{1} A_{1} ⊥ O A_{1} ， B_{2} A_{2} ⊥ B_{1} A_{2} ， B_{3} A_{3} ⊥ B_{2} A_{2} \dots$ ，则 $B_{n}$ （n为正整数）的坐标是（）

A、 $(2 \sqrt{n} ， 0)$ B、 $(0 ， \sqrt{2^{n + 1}})$ C、 $(0 ， \sqrt{2 n (n + 1)})$ D、 $(0 ， 2 \sqrt{n})$

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二、填空题

9. 岳阳“马赛克”建筑广电中心，耗资176000000元，数据176000000用科学记数法表示为.

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10. 若 $7 a^{x} b^{2}$ 与 $- 3 a^{3} b^{y}$ 的和为单项式，则 $x^{y} =$ .

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11. 函数y＝ $\frac{\sqrt{2 - x}}{3}$ 中，自变量x的取值范围是.

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12. 光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射.如图，水面 $A B$ 与水杯下沿 $C D$ 平行，光线变成 $F H$ ，点G在射线 $E F$ 上， $∠ F E D = 45 ° ， ∠ H F B = 20^{\circ}$ ，则 $∠ G F H =$ °.

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13. 若关于x的一元二次方程 $(k - 1) x^{2} + 4 x + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是.

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14. 如图，点O是矩形纸片 $A B C D$ 的对称中心，点E在 $B C$ 上，将纸片沿AE折叠后，点B与点O重合，若 $B E = 1$ ，则矩形ABCD的周长为.

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15. 《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y元.

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16. 如图， $△ A B C$ 内接于⊙O， $A D$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 边于点E，过点D作⊙O的切线，过点A作 $A F ⊥ B C$ 于点F，设 $A F = h$ ，⊙O的半径为R， $∠ B A D = α ．$ 则下列结论正确的是.（写出所有正确结论的序号）
① $M N // B C$ ；② $△ B D E ∽ △ B C A$ ；③ $A B \cdot A C = 2 R \cdot h$ ；④ $\frac{A B + A C}{A D} = 2 \cos α$ .

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三、解答题

17.

(1)、计算： $\sqrt[3]{27} - {(2021 - π)}^{0} - 2 \cos 30 ° + {(- \frac{1}{2})}^{- 1}$ .

(2)、先化简： $(\frac{x^{2} - 2 x}{x^{2} - 4 x + 4} - \frac{1}{x - 2}) \div \frac{x^{2} - x}{x^{2} - 4}$ ，再从 $- 2 \leq x < 3$ 中选取一个合适的整数，代入求值.

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18. 如图，E、F、G、H为四边形 $A B C D$ 各边的中点，对角线 $A C = B D$ .求证：四边形 $E F G H$ 为菱形.

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19. 如图，已知直线 $y = a x + b$ 与双曲线 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 交于 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 两点（A与B不重合），直线 $A B$ 与x轴交于点 $P (x_{0} ， 0)$ ，与y轴交于点C.

(1)、若A，B两点的坐标分别为 $(1 ， 3)$ ， $(3 ， y {}_{2})$ ，求两函数的解析式；

(2)、在（1）的条件下，求证： $A C = B P$ ；

(3)、猜想并用等式表示 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{0}$ 之间的关系（不要求证明）.

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20. 某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：A.5G通讯：B.民法典；C.北斗导航；D.数字经济； $E$ .小康社会，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题

请结合图中的信息解决下列问题：

(1)、在这次活动中，调查的居民共有人；

(2)、将条形统计图补充完整；

(3)、扇形统计图中的a= ， D所在扇形的圆心角是度；

(4)、该小组讨论中，甲、乙两个小组从三个话题：A.5G通讯；B.民法典；C.北斗导航（不放回）选一项进行发言，利用树状图或表格求出两个小组选择A、B话题发言的概率？

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21. 随着某市养老机构建设的稳步推进，拥有的养老床位不断增加.

(1)、该市的养老床位数从2018年底的2万个增长到2020年底的2.88万个，求该市这两年（从2018年度到2020年底）拥有的养老床位数的平均年增长率；

(2)、若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共100间，这三类养老专用房间分别为单人间t个（1个养老床位），双人间（2个养老床位），三人间（3个养老床位），因实际需要（ $10 \leq t \leq 30$ ），且双人间的房间数是单人间的2倍.设该养老中心建成后能提供养老床位y个，求y与t的函数关系式

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22. 某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区 $A C$ 的坡度i为1：2，顶端C离水平地面 $A B A B$ 的高度为 $10 m$ ，竖直的立杆上C、D两点间的距离为 $4 m$ ，E处到观众区底端A处的水平距离 $A F$ 为 $3 m$ .求：

(1)、观众区的水平宽度 $A B$ ；

(2)、顶棚的E处离地面的高度 $E F$ .（ $\sin 18 ° 30^{'} \approx 0.32$ ， $\tan 18 ° 30^{'} \approx 0.33$ ，结果精确到 $0.1 m$ ）

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23. 一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），发现 $B E = D G$ 且 $B E ⊥ D G$ .
小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：

(1)、将正方形 $A E F G$ 绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到 $B E = D G$ 吗？若能，请给出证明，请说明理由；

(2)、把背景中的正方形分别改成菱形 $A E F G$ 和菱形 $A B C D$ ，将菱形 $A E F G$ 绕点A按顺时针方向旋转（如图2），试问当 $∠ E A G$ 与 $∠ B A D$ 的大小满足怎样的关系时， $B E = D G$ ；

(3)、把背景中的正方形分别改写成矩形 $A E F G$ 和矩形 $A B C D$ ，且 $\frac{A E}{A G} = \frac{A B}{A D} = \frac{2}{3}$ ， $A E = 2 a$ ， $A B = 2 b$ （如图3），连接 $D E$ ， $B G$ .试求 $D E^{2} + B G^{2}$ 的值（用a，b表示）.

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24. 如图，抛物线 $y = a x^{2} - 2 \sqrt{3} x + c (a \neq 0)$ 过点 $O (0 ， 0)$ ，A $(6 ， 0)$ .点B是抛物线的顶点，点D是x轴下方抛物线上的一点，连接 $O D$ .

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图①，当 $∠ B O D = 30 °$ 时，求点D的坐标；

(3)、如图②，在（2）的条件下，抛物线的对称轴交x轴于点C，交OD于点E，点F是线段 $O B$ 上的动点（点F不与点O和点B重合），连接 $E F$ ，点B关于直线EF的对应点为点 $B'$ ， $△ E F B'$ 与 $△ O B E$ 的重叠部分为 $△ E F G$ ，使以点E，F，G，H为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由.

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