湖南省岳阳市城区二十八校2021年数学中考二模联考试卷

试卷更新日期：2021-09-16 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 在实数0.1， $\sqrt{2}$ ，0，-3中，最小的数是（）

A、-3 B、 $\sqrt{2}$ C、0 D、0.1

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2. 下列医护图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 式子 $\sqrt{2 x - 2}$ 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A、x≥0 B、x≥﹣1 C、x≥1 D、x≤﹣1

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4. 下列运算正确的是（）

A、 $5 a - 2 a = 3$ B、 ${(a b)}^{3} = a^{3} b^{3}$ C、 $a^{3} \cdot a^{4} = a^{12}$ D、 ${(- a^{2})}^{3} = a^{6}$

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5. 下列命题是真命题的是（）

A、平行四边形的对角线相等 B、相似三角形对应周长的比等于相似比的平方 C、圆内接四边形的对角互补 D、三角形的内心是三边的垂直平分线的交点

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6. 对于一组统计数据3，3，6，5，8，下列说法错误的是（）

A、众数是3 B、平均数是5 C、中位数是5 D、方差是1.6

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7. 如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2＝37°时，∠1的度数为（）

A、37° B、43° C、53° D、54°

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8. 若定义一种新运算： $a \otimes b = {\begin{array}{l} a - b & (a ⩾ 2 b) \\ a + b - 6 & (a < 2 b) \end{array}$ 例如： $3 \otimes 1 = 3 - 1 = 2$ ； $5 \otimes 4 = 5 + 4 - 6 = 3$ ．则函数 $y = (x + 2) \otimes (x - 1)$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

9. 一个六边形的内角和是.

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10. 因式分解： $x^{3} - 2 x^{2} + x$ ＝．

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11. 来自国务院联防联控机制的最新消息显示，截至2021年3月22日24时，我国接种新冠疫苗8050万剂次，接种人数稳步增长.那么数据8050万用科学记数法可以表示为.

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12. 计算： $\frac{a^{2}}{a + 3} - \frac{9}{a + 3}$ ＝.

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13. 方程（x+1）²＝4的解是.

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14. 数学文化我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五丈，中斜十二丈，大斜十三丈，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5丈，12丈，13丈，问这块沙田面积有多大？（题中的“丈”是我国市制长度单位，1丈＝10尺.）则该沙田的面积为平方丈.

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15. 如图，在长方形纸片ABCD中，AB=3，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若∠EAC=∠ECA，则AC的长是

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16. 如图，已知点C是以 $A B$ 为直径的⊙O上一点， $C H ⊥ A B$ 于点H，过点B作⊙O的切线交直线 $A C$ 于点D，点E为 $C H$ 的中点，连接 $A E$ 并延长交 $B D$ 于点F，连接 $C F$ .给出下列结论：① $F D = F B$ ；② $C F$ 是⊙O的切线；③若 $F B = F E = 2$ ，则⊙O的半径为 $2 \sqrt{2}$ ；④若 $∠ D A F = 22.5 °$ ，⊙O的半径为3，则弧 $B C$ 的长 $= 3 π$ .其中正确的有（写出所有正确结论的序号）

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三、解答题

17. 计算： $| 1 - \sqrt{2} | + 2 \cos 45 ° - \sqrt{8} + {(\frac{1}{2})}^{- 1}$

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18. 如图，在 $▱$ ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，且BE=FD，求证：四边形AECF是平行四边形．

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19. 如图，直线 $y = m x + n$ 与双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 相交于 $A (- 1 ， 3)$ 、 $B (3 ， b)$ 两点，与y轴相交于点C.

(1)、求直线 $A B$ 与双曲线的解析式；

(2)、若点D与点C关于x轴对称，求 $△ A B D$ 的面积.

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20. 岳阳市区某中学为了创建“书香校园”，今年春季购买了一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多5元，已知学校用20000元购买的科普类图书的本数与用15000元购买的文学类图书的本数相等.

(1)、求学校购买的科普类图书和文学类图书平均每本的价格各是多少元？

(2)、学校计划在五月份再添置600本这两类图书，且费用不超过10000元，问最多可以购买科普类图书多少本？

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21. 随着经济的快速发展，环境问题越来越受到人们的关注.某校学生会为了了解垃圾分类知识的普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类，并将调查结果绘制成下面两幅统计图.

(1)、本次被调查的学生有多少名？补全条形统计图.

(2)、估计该校4000名学生中“非常了解”与“了解”的人数和是多少.

(3)、被调查的“非常了解”的学生中有2名男生，其余为女生，从中随机抽取2人在全校做垃圾分类知识交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率.

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22. 如图是某户外看台的截面图，长 $15 m$ 的看台 $A B$ 与水平地面 $A P$ 的夹角为35°，与 $A P$ 平行的平台 $B C$ 长为 $2 m$ ，点F是遮阳棚 $D E$ 上端E正下方在地面上的一点，测得 $A F = 2.3 m$ ，在挡风墙 $C D$ 的点D处测得点E的仰角为26°，求遮阳棚 $D E$ 的长（计算结果精确到十分位）.
（参考数据： $\sin 35 ° \approx 0.57$ ， $\cos 35 ° \approx 0.82$ ， $\cos 26 ° \approx 0.9$ ，）

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23. 已知四边形 $A B C D$ 中， $E$ 、 $F$ 分别是 $A B$ 、 $A D$ 边上的点， $D E$ 与 $C F$ 交于点 $G$ .

(1)、如图1，若四边形 $A B C D$ 是矩形，且 $D E ⊥ C F$ ，求证： $\frac{D E}{C F} = \frac{A D}{C D}$ ；

(2)、如图2，若四边形 $A B C D$ 是平行四边形，试探究：当 $∠ B$ 与 $∠ E G C$ 满足什么关系时，使得 $\frac{D E}{C F} = \frac{A D}{C D}$ 成立？并证明你的结论；

(3)、如图3，若 $B A = B C = 6$ ， $D A = D C = 8$ ， $∠ B A D = 90 °$ ， $D E ⊥ C F$ ，请直接写出 $\frac{D E}{C F}$ 的值.

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24. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (4 ， 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C (0 ， - 2)$ .

(1)、求抛物线的函数表达式

(2)、如图1，点 $D$ 为第四象限抛物线上一点，连接 $A D$ ， $B C$ 交于点 $E$ ，连接 $B D$ ，记 $Δ B D E$ 的面积为 $S_{1}$ ， $Δ A B E$ 的面积为 $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最大值；

(3)、如图2，连接 $A C$ ， $B C$ ，过点 $O$ 作直线 $l // B C$ ，点 $P$ ， $Q$ 分别为直线和抛物线上的点.试探究：在第一象限是否存在这样的点 $P$ ， $Q$ ，使 $Δ P Q B ∽ Δ C A B$ .若存在，请求出所有符合条件的点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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