甘肃省酒泉市2021年数学中考二模试卷

试卷更新日期：2021-09-16 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列各数中，最小的数是（）

A、－3 B、0 C、1 D、2

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2. 如图，有一块含有 $45 °$ 角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上.如果 $∠ 1 = 20 °$ ，那么 $∠ 2$ 的度数是（）

A、 $20 °$ B、 $25 °$ C、 $30 °$ D、 $45 °$

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3. 以下调查中，最适合抽样调查的是（）

A、调查一批防疫口罩的质量 B、调查旅客随身携带的违禁物品 C、了解某班级学生的视力情况 D、在“新冠肺炎”疫情期间，对某校到校学生进行体温检测

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4. 下列四个几何体中，主视图是三角形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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5. 下列计算正确的是（）

A、 $2 x - x = 2$ B、 $x^{6} \div x^{2} = x^{3}$ C、 ${(- x y^{3})}^{2} = x^{2} y^{6}$ D、 ${(x + y)}^{2} = x^{2} + y^{2}$

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6. 如图，有一些写有号码的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中任意摸出一张，摸到1号卡片的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{6}$

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7. 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，则sinB的值是（）

A、 $\frac{5}{12}$ B、 $\frac{12}{5}$ C、 $\frac{5}{13}$ D、 $\frac{12}{13}$

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8. 不等式组 ${\begin{array}{l} x + 1 > 2 \\ 2 x - 4 ⩽ x \end{array}$ 的解集在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 如图，已知 $△ A D E$ 和 $△ A B C$ 的相似比是 $1 ： 2$ ，且 $△ A D E$ 的面积是1，则四边形 $D B C E$ 的面积是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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10. 如图，在 $Rt Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C = 2 \sqrt{2}$ ， $C D ⊥ A B$ 于点D.点 $P$ 从点A出发，沿 $A \to D \to C$ 的路径运动，运动到点C停止，过点 $P$ 作 $P E ⊥ A C$ 于点E，作 $P F ⊥ B C$ 于点F.设点P运动的路程为x，四边形 $C E P F$ 的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

11. 分解因式： $a b^{2} - a$ = ．

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12. 若代数式 $\frac{2}{\sqrt{2 x - 6}}$ 在实数范围内有意义，则x的取值范围是．

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13. 如图，在矩形纸片 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ，点 $E$ 在边 $B C$ 上，将 $△ A B E$ 沿直线 $A E$ 折叠，点 $B$ 恰好落在对角线 $A C$ 上的点 $F$ 处，若 $∠ E A C = ∠ E C A$ ，则 $A C$ 的长是.

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14. 已知关于x的一元二次方程 $(a - 1) x^{2} - 2 x + a^{2} - 1 = 0$ 有一个根为 $x = 0$ ，则a的值为．

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15. 如图，点A，B，C在圆O上，∠ACB＝54°，则∠ABO的度数是.

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16. 定义a※b=a（b+1），例如2※3=2×（3+1）=2×4=8．则（x﹣1）※x的结果为．

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17. 如图，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，OA＝ $\sqrt{2}$ ，过弧AB的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为.

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{x (x + 1)}$ ，其中 $f (a)$ 表示当 $x = a$ 时对应的函数值，如 $f (1) = \frac{1}{1 \times 2}$ ， $f (2) = \frac{1}{2 \times 3}$ ， $f (3) = \frac{1}{3 \times 4}$ ，…， $f (a) = \frac{1}{a \times (a + 1)}$ ，则 $f (1) + f (2) + f (3) + \cdot \cdot \cdot + f (2021) =$ .

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三、解答题

19. 计算： $\sqrt{8} - 4 \cos 45 ° + {(- 1)}^{2021}$ .

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20. 解方程组： ${\begin{cases} x - y = 1 \\ 3 x + y = 7 \end{cases}$

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21. 利用尺规作 $∠ A O B$ 的平分线（如图）.
已知： $∠ A O B$ .

求作：射线 $O C$ ，使 $∠ A O C = ∠ B O C$ .

作法：①在 $O A$ 和 $O B$ 上分别截取 $O D$ ， $O E$ ，使 $O D = O E$ .

②分别以 $D$ ， $E$ 为圆心、以大于 $\frac{1}{2} D E$ 的长为半径作弧，两弧在 $∠ A O B$ 内交于点 $C$ .

③作射线 $O C$ . $O C$ 就是 $∠ A O B$ 的平分线.

请你根据提供的材料完成下列问题：

(1)、根据作法补全图形（保留作图痕迹）；

(2)、这种作已知角平分线的方法的依据是（填序号）.
①SSS②SAS③AAS④ASA

(3)、请你证明 $O C$ 为 $∠ A O B$ 的平分线.

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22. 酒泉老城区的西南隅，耸立着一座古城门——晋城门，它是东晋时期酒泉郡治驻地福禄县城的南门.某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量晋城门的高度（如图）.他们在地面一条水平道路 $M P$ 上架设测角仪，先在点 $M$ 处测得晋城门最高点 $A$ 的仰角为 $22 °$ ，然后沿 $M P$ 方向前进16m到达点 $N$ 处，测得点 $A$ 的仰角为 $45 °$ .测角仪的高度为1.6m.

(1)、求晋城门最高点 $A$ 距离地面的高度（结果精确到0.1m.参考数据： $\sin 22 ° \approx 0.37$ ， $\cos 22 ° \approx 0.93$ ， $\tan 22 ° \approx 0.40$ ， $\sqrt{2} \approx 1.41$ ）；

(2)、“景点简介”显示，晋城门的高度为12.6m.请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议.

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23. 生活垃圾处理是关系民生的基础性公益事业，加强生活垃圾分类处理，维护公共环境和节约资源是全社会共同的责任，某小区购进A型和B型两种分类垃圾桶，已知购买一个B型垃圾桶比购买一个A型垃圾桶多花20元，购买A型、B型垃圾桶各花费了1000元，且购买A型垃圾桶数量是购买B型垃圾桶数量的2倍．

(1)、求购买一个A型垃圾桶和一个B型垃圾桶各需多少元？

(2)、若小区一次性购买A型和B型垃圾桶共60个，要使总费用不超过2000元，最少要购买多少个A型垃圾桶？

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24. 知往鉴今，以启未来.在中国共产党成立100周年之际，重温党的历史，无论是对过去、现在还是将来，都具有重大而深远的意义.某校响应党总支号召，耕读党史故事，体味红色历程，开展了“学党史、感党恩、跟党走”的主题知识竞赛，全校同学均参与了此次竞赛.为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A： $60 \leq x < 70$ ；B： $70 \leq x < 80$ ；C： $80 \leq x < 90$ ；D： $90 \leq x \leq 100$ ，并绘制出如下不完整的统计图（如图）.

(1)、求被抽取的学生成绩在C： $80 \leq x < 90$ 组的有多少人；

(2)、所抽取学生成绩的中位数落在哪个组内；

(3)、若该学校有1500名学生，估计这次竞赛成绩在A： $60 \leq x < 70$ 组的学生有多少人.

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25. 已知反比例函数 $y_{1} = \frac{k}{x}$ 的图象与一次函数 $y_{2} = a x + b$ 的图象交于点 $A (1 ， 4)$ 和 $B (m ， - 2)$ .

(1)、求这两个函数的关系式；

(2)、如果点 $C$ 与点 $A$ 关于 $x$ 轴对称，求 $Δ A B C$ 的面积.

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26. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，C为 $⊙ O$ 上的一点，AD与过点C的直线互相垂直，垂足为D，AC平分 $∠ D A B$ ．

(1)、求证：DC为 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A D = 3 ， D C = \sqrt{3}$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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27. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．

(1)、求证：四边形OEFG是矩形；

(2)、若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．

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28. 如图，抛物线 $y = - \frac{4}{3} x^{2} + b x + c$ 经过点 $A (3 ， 0)$ ， $B (0 ， 2)$ ，连接 $A B$ ，点 $P$ 是第一象限内抛物线上一动点.

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，交 $A B$ 于点 $Q$ ，判断是否存在点 $P$ ，使得以 $P$ 、 $Q$ 、 $B$ 为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请求出点 $P$ 的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)、点 $C$ 与点 $B$ 关于 $x$ 轴对称，连接 $A C$ ， $A P$ ， $P C$ ，当点 $P$ 运动到什么位置时， $△ A C P$ 的面积最大？求 $△ A C P$ 面积的最大值及此时点 $P$ 的坐标.

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