高中数学人教A版（2019）选修二第四章数列

试卷更新日期：2021-09-15 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n} = 2 a_{n - 1} - 1 (n ⩾ 2 ， n \in N^{*})$ ，则 $a_{8} =$ （）

A、-1 B、1 C、7 D、8

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2. 设 $S_{n}$ 是等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{3} = 4$ ， $a_{4} + a_{5} + a_{6} = 6$ ，则 $\frac{S_{9}}{S_{6}} =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{19}{10}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{19}{6}$

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3. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{2} + a_{5} + a_{8} = 9$ ，则 $S_{9} =$ （）

A、21 B、27 C、30 D、36

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4. 设公差为-2的等差数列，如果 $a_{1} + a_{4} + a_{7} + \cdot \cdot \cdot + a_{97} = 50$ ，那么 $a_{3} + a_{6} + a_{9} + \cdot \cdot \cdot + a_{99} =$ （）

A、-72 B、-78 C、-182 D、-82

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5. 已知各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $2 a_{3} ， \frac{1}{2} a_{5} ， a_{4}$ 成等差数列，则 $S_{7} - S_{6} =$ （）

A、128 B、64 C、32 D、1

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6. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $d$ ，若 ${a_{n}}$ 为递增数列，则（）

A、 $d > 0$ B、 $d < 0$ C、 $a_{1} d > 0$ D、 $a_{1} d < 0$

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7. 数列 ${a_{n}}$ 是递增的整数数列，且 $a_{1} \geq 3$ ， $a_{1} + a_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} = 100$ ，则 $n$ 的最大值为（）

A、9 B、10 C、11 D、12

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8. “中国剩余定理”又称“孙子定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2020这2020个数中，能被3除余1且被4除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{a_n}，则此数列的项数为（）

A、167 B、168 C、169 D、170

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二、多选题

9. 等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} < 0$ ，公比 $0 < q < 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、数列 ${a_{n}}$ 中的所有偶数项可以组成一个公比为 $q^{2}$ 的等比数列 B、设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，对 $\forall n > 2$ ， $n \in N^{*}$ ， $S_{n} < a_{n} + a_{1}$ 恒成立 C、数列 ${a_{n}}$ 是递增数列 D、数列 ${\lg (- a_{n})}$ 是首项和公差都小于0的等差数列

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10. 记等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .若 $a_{2} = 10$ ， $S_{5} = S_{2}$ ，则（）

A、 $S_{3} = S_{4}$ B、 $a_{6} = 10$ C、 $S_{n}$ 的最大值为30 D、 $a_{n}$ 的最大值为15

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和是 $S_{n}$ ，则下列结论正确的是（）

A、若数列 ${S_{n}}$ 为等差数列，则数列 ${a_{n}}$ 为等差数列 B、若数列 ${\frac{S_{n}}{n}}$ 为等差数列，则数列 ${a_{n}}$ 为等差数列 C、若数列 ${a_{n}}$ 和 ${\frac{a_{n}^{2}}{n}}$ 均为等差数列，则 $S_{3} = 2 a_{3}$ D、若数列 ${a_{n}}$ 和 ${a_{n}^{2}}$ 均为等差数列，则数列 ${a_{n}}$ 是常数数列

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12. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = a \cdot 2^{n + 1} + b n + c$ （ $a, b, c$ 为常数），则下列命题中正确的是（）

A、若 $a \neq 0$ ，则 ${a_{n}}$ 不是等差数列 B、若 $a = 0$ ， $b \neq 0$ ， $c = 0$ ，则 ${a_{n}}$ 是等差数列 C、若 $a = 0$ ， $b \neq 0$ ， $c = 0$ ，则 ${a_{n}}$ 是等比数列 D、若 $a = 1$ ， $b = 0$ ， $c = - 1$ ，则 ${a_{n}}$ 是等比数列

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三、填空题

13. 已知 ${a_{n}}$ 为等差数列， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和．若 $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $S_{2} = a_{3}$ ，则 $S_{n} =$ ．

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14. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} (n \in N^{*})$ ，公差 $d \neq 0$ ， $S_{6} = 90$ ， $a_{7}$ 是 $a_{3}$ 与 $a_{9}$ 的等比中项，则 ${a_{n}}$ 的通项公式为.

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15. 已知函数 $f (x) = \log_{2} x$ ，给出三个条件：① $f (a_{n}) = 2^{n}$ ；② $f (a_{n}) = n$ ；③ $f (a_{n}) = \frac{1}{n}$ .从中选出一个能使数列 ${a_{n}}$ 成等比数列的条件，在这个条件下，数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ＝.

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16. 已知正整数数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = {\begin{array}{l} 3 a_{n} + 1 ， a_{n} 为奇数， \\ \frac{a_{n}}{2} ， a_{n} 为偶数， \end{array}$ 则当 $a_{1} = 8$ 时， $a_{2021} + a_{2022} + a_{2023} =$ ．

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四、解答题

17. 等比数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数，且 $a_{1} + 6 a_{2} = 1$ ， $a_{3} = a_{1} \cdot a_{2}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \log_{3} a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 前几项和.

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18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 是递增数列，且 $a_{1} + a_{5} = 12$ ， $a_{2} \cdot a_{4} = 32$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = n \cdot 2^{a_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $S_{n} = \frac{2}{3} (4^{n} - 1) (n \in N^{*})$ ，
设 $b_{n} = \log_{2} a_{n}$ ．

(1)、分别求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${\frac{4}{(b_{n} + 1) (b_{n} + 3)}}$ 的前前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $S_{n} = 2 a_{n} - 2$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = {log}_{2} a_{n}$ ，数列 ${a_{n} \cdot b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证 $： \frac{S_{n} + T_{n}}{a_{n} b_{n}}$ 为定值.

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21. 记 $S_{n}$ 是公差不为0的等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，若 $a_{3} = S_{5}, a_{2} a_{4} = S_{4}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、求使 $S_{n} > a_{n}$ 成立的n的最小值．

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22. 已知公比 $q > 1$ 的等比数列 ${a_{n}}$ 和等差数列 ${b_{n}}$ 满足： $a_{1} = 2$ ， $b_{1} = 1$ ，其中 $a_{2} = b_{4}$ ，且 $a_{2}$ 是 $b_{2}$ 和 $b_{8}$ 的等比中项．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 与 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记数列 ${a_{n} b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若当 $n \in N^{*}$ 时，等式 ${(- 1)}^{n} λ - T_{n} < 0$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围．

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高中数学人教A版（2019） 选修二 第四章 数列

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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