湖南省五市十校2020-2021学年高一上学期数学第一次联考试卷

试卷更新日期：2021-09-15 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设全集 $U = {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6}$ ，集合 $A = {1 ， 2 ， 3}$ ， $B = {3 ， 4 ， 5 ， 6}$ ，则 $A \cap (∁_{U} B) =$ （）

A、 ${1 ， 2}$ B、 ${2 ， 3}$ C、 ${1 ， 2 ， 3}$ D、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3}$

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2. 命题“ $\forall x \in R$ ， $2^{x} > 2 x + 1$ ”的否定为（）

A、 $\forall x \in R$ ， $2^{x} < 2 x + 1$ B、 $\forall x \in R$ ， $2^{x} \leq 2 x + 1$ C、 $\exists x \in R$ ， $2^{x} > 2 x + 1$ D、 $\exists x \in R$ ， $2^{x} \leq 2 x + 1$

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3. “ $2^{a} > 2^{b}$ ”是“ $\ln a > \ln b$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 若 $a = 2^{0.4}$ ， $b = \log_{0.4} 2$ ， $c = {0.4}^{\sqrt{2}}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < b < a$

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5. 某校第34届校田径运动会在今年11月顺利举行，该校高一2001班共有50名学生，有20名学生踊跃报名，其中报名参加田赛的同学有10人，报名参加径赛的同学有13人，则既参加田赛又参加径赛的同学有（）

A、2人 B、3人 C、4人 D、5人

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6. 函数 $f (x) = x (\frac{2}{1 + 2^{x}} - 1)$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 若 $x > 4$ ，则（）

A、 $2^{x} > x^{2} > \log_{2} x$ B、 $2^{x} > \log_{2} x > x^{2}$ C、 $x^{2} > 2^{x} > \log_{2} x$ D、 $x^{2} > \log_{2} x > 2^{x}$

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8. 函数 $f (x) = 81 \ln x - {(\frac{1}{3})}^{x - 3} - 80$ 的零点所在的区间为（）

A、 $(\frac{1}{e} ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 ， e)$ D、 $(e ， 3)$

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二、多选题

9. 已知单元素集合 $M = {1}$ ，则集合 $M$ 的所有子集构成的集合 $N = {\emptyset ， {1}}$ ，下列表示正确的是（）

A、 $\emptyset \in N$ B、 $\emptyset \subseteq N$ C、 $\emptyset = N$ D、 $\emptyset \notin N$

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10. 下列命题正确的是（）

A、奇函数的图象一定过坐标原点 B、若函数 $f (x + 3)$ 的定义域为 $[0 ， 1]$ ，则函数 $f (x - 2)$ 的定义域为 $[5 ， 6]$ C、函数 $g (x) = 3 \log_{a} (2 x - 5) + 6$ ( $a > 0$ 且 $a \neq 1$ )的图像过定点 $(3 ， 6)$ D、函数 $y = \log_{2} 2^{x}$ 与 $y = 2^{\log_{2} x}$ 是同一函数

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11. 已知对任意 $x ， y \in (0 ， + \infty)$ ，且 $x + 2 y = 3$ ， $t \leq \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{2 y + 1}$ 恒成立，则 $t$ 的取值可以是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{5}{6}$

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12. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且满足 $f (1 - x) = f (1 + x)$ .若 $f (1) = 2$ ，记 $T_{n} = f (1) + f (2) + f (3) + \cdot \cdot \cdot + f (n)$ ， $n \in N^{*}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $T_{4} = 0$ B、 $T_{5} = 2$ C、 $T_{2020} = 0$ D、 $T_{2021} = 2$

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三、填空题

13. 已知 $f (\log_{3} x) = x$ ，则 $f (x)$ 的解析式为.

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14. 已知幂函数 $y = x^{\frac{1}{n - 4}} (n \in N^{*})$ 的定义域为 $(0 ， + \infty)$ ，且单调递减，则 $n =$ .

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15. 若函数 $f (x) = a x^{2} + 2 b x + 4 a + b$ 是偶函数，定义域为 $[3 a ， a + 2]$ ，则 $a + b =$ .

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} - 4 x ， x \in [- 4 ， 0] \\ | \lg x | + 2 ， x \in (0 ， + \infty) \end{array}$ ，若方程 $f (x) - m = 0$ 有4个根分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则 $x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} \cdot x_{4}$ 的取值范围是.

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四、解答题

17.

(1)、化简： $\frac{6 \sqrt[3]{a b \sqrt{a}}}{4 a^{\frac{1}{2}} b^{- \frac{2}{3}}}$ ( $a$ ， $b$ 均为正数)；

(2)、求值： $\lg 4 + 2 \lg 5 + π^{0} - 4 \ln \sqrt{e} + 3^{1 + \log_{3} 7}$ .

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18. 已知函数 $f (x) = x^{2} - (2 m + 1) x + m^{2} + m$ .

(1)、若 $m = 1$ ，求 $f (x)$ 在区间 $[- 1 ， 3]$ 上的最大值与最小值；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $[- 2 ， 1]$ 上是单调函数，求实数 $m$ 的取值范围；

(3)、求不等式 $f (x) < 0$ 的解集.

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19. 为创建全国卫生文明城市，倡导市民绿色出行，我市根据实际情况，新增开第11路专线，根据市场调查和试营运发现，汽车的发车时间间隔 $t$ (单位：分钟)满足 $2 \leq t \leq 15$ ， $t \in N$ ，汽车的载客量 $p (t)$ 与发车时间间隔 $t$ 满足 $p (t) = {\begin{array}{l} 600 - 5 {(10 - t)}^{2} ， 2 \leq t < 10 ， t \in N \\ 600 ， 10 \leq t \leq 15 ， t \in N \end{array}$ .

(1)、请你说明 $p (5)$ 的实际意义﹔

(2)、若该线路每分钟的净收益为 $Q = \frac{6 p (t) - 1680}{t} - 180$ (元)，当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求最大净收益.

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20. 已知函数 $f (x) = 3^{x} + 3^{- x}$ .

(1)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性与单调性，并证明﹔

(2)、若方程 $f (x) - 2 m = 0$ 在 $x \in [- 1 ， 2]$ 上的解集非空，求实数 $m$ 的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $[- 2 ， 2]$ 上的奇函数，当 $x \in [0 ， 2]$ 时， $f (x) = x - \log_{\frac{1}{2}} (x + 1)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $[- 2 ， 2]$ 上的解析式；

(2)、求不等式 $f (\log_{\frac{1}{2}} x) + f (\log_{2} (2 x - 1)) < 0$ 的解集.

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22. 已知函数 $f (x)$ 对任意 $x_{1} ， x_{2} \in R$ 有 $f (x_{1} + x_{2}) = f (x_{1}) + f (x_{2})$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) < 0$ .

(1)、求不等式 $f (\frac{x - 11}{x - 2} + 2) > 0$ 的解集﹔

(2)、若满足题意的函数 $y = f (x)$ 是 $y = x^{2}$ ， $y = x + \frac{1}{x}$ ， $y = - x$ 中的某一个，令 $g (x) = 4^{- x} + a \cdot 2^{- x}$ ，求函数 $h (x) = g (f (x))$ 在 $[- 1 ， 2]$ 上的最小值.

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