湖南省名校联考联合体2020-2021学年高一上学期数学大联考试卷

试卷更新日期：2021-09-15 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 计算 $\tan (- 330^{\circ}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $- \sqrt{3}$

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2. 已知集合 $A = {- 2, 1}$ ， $B = {x | a x = 2}$ ，若 $A \cap B = B$ ，则实数 $a$ 值集合为（）

A、 ${- 1}$ B、 ${2}$ C、 ${- 1, 2}$ D、 ${- 1, 0, 2}$

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3. 若 $a$ ， $b$ ， $c$ ，满足 $2^{a} = 3$ ， $b = \log_{2} 5$ ， $3^{c} = 2$ ，则（）

A、 $c < a < b$ B、 $b < c < a$ C、 $a < b < c$ D、 $c < b < a$

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4. 已知函数 $f (x) = \lg (x^{2} - 4 x - 5)$ 在 $(a ， + \infty)$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(2 ， + \infty)$ B、 $[2 ， + \infty)$ C、 $(5 ， + \infty)$ D、 $[5 ， + \infty)$

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5. 如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为 $T .$ 若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数 $h = f (t)$ 的图象大致是 $($ $)$

A、 B、 C、 D、

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6. 达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角 $A ， C$ 处作圆弧的切线，两条切线交于 $B$ 点，测得如下数据： $A B = 6 c m ， B C = 6 c m ， A C = 10.392 c m$ （其中 $\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$ ）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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7. 下列四个函数中，以 $π$ 为最小正周期，且在区间 $(\frac{π}{2} ， π)$ 上为减函数的是（）

A、 $y = \cos x$ B、 $y = | 2 \sin x |$ C、 $y = \cos \frac{x}{2}$ D、 $y = \tan x$

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8. 电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条，行车不规范，亲人两行泪”，成为网络热句．讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”.2019年，公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表．经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的散点图如图所示，且该图表示的函数模型 $f (x) = {\begin{array}{l} 40 \sin (\frac{π}{3} x) + 13 ， 0 \leq x < 2 \\ 90 e^{- 0.5 x} + 14 ， x \geq 2 \end{array}$ ．假设该人喝一瓶啤酒后至少经过 $n (n \in N^{+})$ 小时才可以驾车，则 $n$ 的值为（）（参考数据： $\ln 15 \approx 2.71$ ， $\ln 30 \approx 3.40$ ）

车辆驾驶人员血液酒精含量阈值

驾驶行为类别

阈值 $(mg / 100 ml)$

饮酒驾车

$[20 ， 80)$

醉酒驾车

$[80 ， + \infty)$

A、7 B、6 C、5 D、4

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二、多选题

9. 给出下面四个结论﹐其中正确的是（）

A、设正实数a，b满足 $a + b = 1$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 有最大值4 B、命题“ $\forall x \in R ， x^{2} - 2 x + 1 \geq 0$ ”的否定是“ $\exists x \in R ， x^{2} - 2 x + 1 < 0$ ” C、方程 $\log_{3} x + x - 3 = 0$ 的零点所在区间是 $(2 ， 3)$ D、已知 $f (x)$ 在R上是奇函数，且满足 $f (x) = - f (x + 2)$ ，当 $x \in (0 ， 2)$ 时， $f (x) = 2 x^{2}$ ，则 $f (2019)$ $= - 2$

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10. 已知 $f (\sqrt{2 x^{2} - 1}) = 4 x^{2} - 3$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $f (1) = 1$ B、 $f (x) = 2 x^{2} - 1$ C、 $f (x)$ 是偶函数 D、 $f (x)$ 有唯一零点

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11. 给出下面四个结论，其中正确的是（）

A、函数 $f (x) = \tan (π + \frac{π}{2} x)$ 是奇函数，且 $f (x)$ 的最小正周期为2 B、函数 $f (x) = - 2 \sin (2 x + φ) ， x \in R$ 的最大值为2，当且仅当 $φ = \frac{π}{2} + k π ， k \in Z$ 时 $f (x)$ 为偶函数 C、函数 $f (x) = \tan (- x)$ 的单调增区间是 $(- \frac{π}{2} + k π ， \frac{π}{2} + k π) ， k \in Z$ D、函数 $f (x) = \sin (- \frac{1}{2} x + \frac{π}{3})$ ， $x \in [- 2 π ， 2 π]$ 的单调减区间是 $[- \frac{π}{3} ， \frac{5 π}{3}]$

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12. 给出下面四个结论，其中不正确的是（）

A、两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定，则若n次（ $n \geq 2$ ）购买同一物品，用第一种策略比较经济 B、若二次函数 $f (x) = 24 a x^{2} + 4 x - 1 (a \neq 0)$ 在区间 $(- 1 ， 1)$ 内恰有一个零点﹐则实数a的取值范围是 $(- \frac{1}{8} ， 0) \cup (0 ， \frac{5}{24})$ C、已知函数 $f (x) = \lg x$ ，若 $0 < a < b$ ，且 $f (a) = f (b)$ ，则 $3 b + 2 a$ 的取值范围是 $[2 \sqrt{6} ， + \infty)$ D、设矩形 $A B C D (A B > A D)$ 的周长为24，把 $△ A B C$ 沿AC向 $△ A D C$ 折叠，AB折过去后交DC于点P，设 $A B = x$ ，则 $△ A D P$ 的面积是关于x的函数且最大值为 $108 - 70 \sqrt{2}$

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三、填空题

13. 若幂函数 $y = f (x)$ 的图象经过函数 $g (x) = \log_{a} (x + 3) + \frac{1}{4}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）图象上的定点 $A$ ，则 $f (\frac{1}{2}) =$ .

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14. 计算： $2 \log_{5} 25 - 3 \log_{2} 64 + 3 \times {(\frac{1}{4})}^{\sin \frac{3 π}{2}} + π^{\cos \frac{- π}{2}} =$ .

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \sqrt{x + 1} ， - 1 < x < 0 \\ 2 x ， x \geq 0 \end{array}$ ，若实数a满足 $f (a) = f (a - 1)$ ，则 $f (f (- a)) =$ .

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16. 新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段.某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第n天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时 $t (n)$ （单位：小时）大致服从的关系为 $t (n) = {\begin{array}{l} \frac{t_{0}}{\sqrt{n}} ， n < N_{0} \\ \frac{t_{0}}{\sqrt{N_{0}}} ， n \geq N_{0} \end{array}$ （ $t_{0}$ ， $N_{0}$ 为常数）.已知第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第49天检测过程平均耗时大致为小时.

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四、解答题

17. 已知 $p ： t \in A = {t | f (x) = \ln (x^{2} + t x + t) ， x \in R}$ ， $q ： t \in B = {t | 2 a - 1 < t < a + 1}$ .

(1)、求集合A；

(2)、若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围.

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18. 已知 $f (θ) = \frac{\sin (θ - π) \cos (\frac{π}{2} + θ) \cos (\frac{3 π}{2} - θ)}{\sin (π - θ) \cos (- 2 π - θ) \sin (\frac{3 π}{2} + θ) \tan (- π - θ)}$ .

(1)、化简 $f (θ)$ ；

(2)、若 $f (π - θ) = - 3$ ，求 $\frac{3 \sin θ - 2 \cos θ}{5 \cos θ + 2 \sin θ}$ 的值；

(3)、解关于 $θ$ 的不等式： $f (\frac{π θ}{2}) \geq \sqrt{3}$ .

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19. 已知函数 $f (x) = \sin x$ ， $g (x) = \cos x$ ；用 $m (x)$ 表示 $f (x)$ ， $g (x)$ 中的较小者，记为 $m (x) =$ $\min {f (x) ， g (x)}$ .

(1)、求 $y = f (2 x - \frac{π}{3})$ 在区间 $(- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4})$ 的值域；

(2)、若 $f (θ)$ ， $g (θ)$ 是关于x的方程 $x^{2} - a x + a = 0 (a \in R)$ 的两个根，求a的值；

(3)、若 $x \in [0 ， 2 π]$ ，且方程 $m (x) = b$ 有两个实根，求实数b的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1 - a x}{x - 1}$ 的图象过点 $A (3 ， - 1)$ .

(1)、当 $x \in (1 ， + \infty)$ 时， $f (x) + \log_{\frac{1}{2}} (x - 1) < m$ 恒成立，求实数m的取值范围；

(2)、若关于x的方程 $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} (x + k)$ 在 $[2 ， 3]$ 上有解，求k的取值范围.

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21. 新冠肺炎疫情发生后，政府为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额 $x$ （万元）在 $x \in [4 ， 8]$ 的小微企业做统一方案，方案要求同时具备下列两个条件：①补助款 $f (x)$ （万元）随企业原纳税额 $x$ （万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额的 $50 %$ .经测算政府决定采用函数模型 $f (x) = \frac{x}{4} - \frac{m}{x} + 4$ （其中 $m$ 为参数）作为补助款发放方案.

(1)、当使用参数 $m = 13$ 是否满足条件，并说明理由；

(2)、求同时满足条件①②的参数 $m$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{3^{x} - a}{3^{x} + 1} (a \in R)$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 为奇函数，求a的值，并求此时函数 $f (x)$ 的值域；

(2)、若存在 $x_{1} < 0 < x_{2}$ ，使 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = 0$ ，求实数a的取值范围.

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驾驶行为类别	阈值 $(mg / 100 ml)$
饮酒驾车	$[20 ， 80)$
醉酒驾车	$[80 ， + \infty)$