广东省2020-2021学年高一上学期数学12月大联考试卷

试卷更新日期：2021-09-15 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设集合 $A = {(x ， y) | y = x + 1}$ ， $B = {(x ， y) | y = x^{2} - 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 ${1 ， 2}$ C、 ${(- 1 ， 0) ， (2 ， 0)}$ D、 ${(- 1 ， 0) ， (2 ， 3)}$

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2. “ $x = 2 k π + \frac{π}{3} (k \in Z)$ ”是“ $\tan x = \sqrt{3}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 函数 $y = a^{x}$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）在 $[1 ， 2]$ 上最大值与最小值的差为2，则 $a =$ （）

A、-1或2 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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4. 若 $\tan α = - 2$ ，则 $\sin (α - π) \cdot \cos (π + α) =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\pm \frac{2}{5}$ D、 $- \frac{2}{5}$

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5. 函数 $f (x) = x \cos x + x$ 在 $[- π ， π]$ 上的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 若 $a = \sin 44 °$ ， $b = \cos 50 °$ ， $c = \tan 46 °$ ，则（）

A、 $b < a < c$ B、 $a < b < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < b < a$

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7. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则 $(a + b) (\frac{2}{a} + \frac{8}{b})$ 的最小值为（）

A、4 B、8 C、12 D、18

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8. 若函数 $f (x)$ 是周期为2的函数，且 $x \in [0 ， 2]$ 时， $f (x) = {(x - 1)}^{2} + \sin π x$ ，则 $f (- \frac{11}{2}) =$ （）

A、 $\frac{9}{4}$ B、 $\frac{7}{4}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{3}{4}$

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9. 已知 $b > 0$ ， $\log_{5} b = a$ ， $\lg b = c$ ， $5^{d} = 10$ ，则下列等式一定成立的是（）

A、 $d = a c$ B、 $a = c d$ C、 $c = a d$ D、 $d = a + c$

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10. 若函数 $f (x) = 4^{x} - m \cdot 2^{x} + m + 3$ 有两个不同的零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} + x_{2} > 0$ ， $x_{1} x_{2} > 0$ ，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- 2 ， 2)$ B、 $(6 ， + \infty)$ C、 $(2 ， 6)$ D、 $(2 ， + \infty)$

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二、多选题

11. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{2} x^{2} - 2$ ，利用零点存在性法则确定各零点所在的范围.下列区间中存在零点的是（）

A、 $(- 3 ， - 2)$ B、 $(\frac{1}{2} ， 1)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(- 1 ， \frac{1}{2})$

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12. 下列不等式中错误的是（）

A、 $x^{2} - 2 x > - 3 (x \in R)$ B、 $a^{3} + b^{3} \geq a^{2} b + a b^{2} (a ， b \in R)$ C、 $a^{2} + b^{2} \geq 2 (a - b - 1)$ D、 $f (x) = x^{2} + \frac{2}{x^{2} - 1} \geq 2 \sqrt{2} + 1$

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13. 已知角 $α$ 为锐角，则（）

A、 $\tan (α + 90 °) > 0$ B、 $\sin (α + 180 °) < 0$ C、 $\cos (α - 90 °) > 0$ D、 $\cos (α - 180 °) < 0$

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14. 若函数 $f (x) = \sin (ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 在 $(\frac{π}{2} ， π)$ 上是减函数，则 $ω$ 的取值可以是（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、2 D、 $\frac{2}{3}$

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} ， x \geq \sin θ \\ - x ， x < \sin θ \end{array}$ ，若函数 $f (x)$ 存在零点，则 $θ$ 的取值可能为（）

A、 $2 π$ B、 $π$ C、 $\frac{5 π}{6}$ D、 $\frac{π}{2}$

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三、填空题

16. 函数 $y = \cos (π x)$ 的最小正周期是．

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17. 用二分法求方程 $2^{x} - x - 4 = 0$ 的一个近似解时，已经将一根锁定在区间 $(2 ， 3)$ 内，则下一步可断定该根所在的区间为．

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18. 已知函数 $f (x) = (t - 2) x^{t}$ 是幂函数，则函数 $g (x) = \log_{t} (x + t) + t$ 恒过定点．

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19. 用 $80 cm$ 长的铁丝围成一个扇形，则围成扇形的面积最大是 ${cm}^{2}$ ．

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20. 命题：“ $\forall x \in R$ ， $e^{x^{2} - x + m} \geq e$ .”是真命题，则实数 $m$ 的取值范围是．

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21. 计算： $\frac{\lg 8 + \lg 125}{\lg \sqrt{10} \cdot \lg 0.1} - {(- \frac{1}{7})}^{- 2} + 256^{\frac{3}{4}} - \log_{2} 3 \times \log_{3} 4 =$ ．

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22. 函数 $y = 2 \sin (2 x - \frac{π}{3}) + \cos (2 x + \frac{π}{6})$ 的最大值为．

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23. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin x \cos x - \cos^{2} x$ ，若函数 $f (x + φ)$ 是偶函数，则 $\tan 2 φ =$ ．

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四、解答题

24. 已知 $θ$ 是第三象限角， $\cos (θ - 2 π) = - \frac{3}{5}$ ．

(1)、求 $\sin (θ + \frac{π}{4})$ 的值；

(2)、求 $\cos (2 θ + \frac{3 π}{4})$ 的值．

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25. 已知函数 $f (x) = \log_{a} x$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ），且 $f (3) - f (2) = 1$ ．

(1)、若 $f (3 m - 2) < f (2 m + 5)$ ，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、求使 $f (x - \frac{2}{x}) = \log_{\frac{3}{2}} \frac{7}{2}$ 成立的 $x$ 的值．

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26. 已知函数 $f (x) = k (\sin x - \cos x) + \sin x \cos x + 1$ ．

(1)、若 $f (x) \geq 0$ 对 $x \in [- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4}]$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围；

(2)、当 $k < - 1$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $[0 ， 2 π]$ 上零点的个数．

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