江苏省常州市金坛区2020-2021学年九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-09-14 类型：期中考试

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一、单选题

1. 用配方法解一元二次方程 $x^{2} - 4 x = 6$ 时，原方程可变形为（）

A、 ${(x - 2)}^{2} = 10$ B、 ${(x - 4)}^{2} = 10$ C、 ${(x + 2)}^{2} = 10$ D、 ${(x - 2)}^{2} = 2$

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2. 关于x的方程 $x^{2} - 2 x + k = 0$ 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）

A、k＜1 B、k＞1 C、k＜－1 D、k＞－1

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3. 方程 $2 x^{2} + 6 x - 1 = 0$ 的两根为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2}$ 等于（）

A、-6 B、6 C、-3 D、3

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4. 下列命题：
①圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合；

②一个三角形只有一个内切圆；

③和半径垂直的直线是圆的切线；

④三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等.

其中假命题有（）

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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5. 如图， $A B ， A C$ 分别是 $⊙ O$ 的直径和弦， $O D ⊥ A C$ 于点 $D ，$ 连接 $B D ， B C$ .若 $A B = 10 ， A C = 8$ ，则 $B D$ 的长是（）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、 $4$ C、 $2 \sqrt{13}$ D、 $\frac{24}{5}$

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6. 如图， $A B$ 是 $⊙ О$ 的直径， $C B ， C D$ 是 $⊙ О$ 的弦，且 $C B = C D ， C D$ 与 $A B$ 交于点 $E$ ，连接 $O D$ .若 $∠ A O D = 40 ° ，$ 则 $∠ D$ 的度数是（）

A、 $20^{\circ}$ B、 $35^{\circ}$ C、 $40^{\circ}$ D、 $55^{\circ}$

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7. 如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为 $x$ 米，则根据题意，列方程为（）

A、 $35 \times 20 - 35 x - 20 x + 2 x^{2} = 600$ B、 $35 \times 20 - 35 x - 2 \times 20 x = 600$ C、 $(35 - 2 x) (20 - x) = 600$ D、 $(35 - x) (20 - 2 x) = 600$

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8. 如图，在 $⊙ О$ 中，点 $C$ 在弦 $A B$ 上移动，连接 $O C ，$ 过点 $C$ 作 $C D ⊥ O C$ 交 $⊙ О$ 于点 $D$ .若 $A B = 2 ，$ 则 $C D$ 的最大值是（）

A、 $4$ B、 $2$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $1$

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二、填空题

9. 一元二次方程 $x (x - 1) = 0$ 的根是．

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10. 若关于 $x$ 的一元二次方程 ${(x - 3)}^{2} = c$ 有实根，则 $c$ 的值可以是.（写出一个即可）

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11. 已知关于x的一元二次方程x²+kx+1=0有两个相等的实数根，则k= ．

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12. 某农场的粮食产量在两年内从增加 $3000 t$ 到 $3630 t ，$ 则平均每年增产的百分率是.

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13. 已知方程 $x^{2} - m x + n = 0$ 有一个根是 $1$ ，则 $m - n =$ .

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14. 如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆，直径 $A D = 4$ ， $∠ A B C = ∠ D A C$ ，则 $A C$ 长为.

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15. 如图，已知 $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A C$ 是 $⊙ O$ 的切线，连接 $O C$ 交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，连接 $B D$ .若 $∠ C = 40 °$ ，则 $∠ B$ 的度数是 $°$ .

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16. 若圆锥的底面半径是 $3 c m ，$ 圆锥的侧面积是 $15 π c m^{2}$ ，则母线长是 $c m$ .

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17. 如图，已知点 $C$ 是半圆 $О$ 上一点，将弧 $B C$ 沿弦 $B C$ 折叠后恰好经过点 $O ，$ 若半圆 $О$ 的半径是 $2 ，$ 则图中阴影部分的面积是.

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18. 如图，点 $О$ 是正方形 $A B C D$ 的中心， $D E$ 与 $⊙ О$ 相切于点 $E$ ，连接 $B E ，$ 若 $D E = 10 ，$ $B E = 10 \sqrt{2}$ ，则 $⊙ О$ 的面积是.

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三、解答题

19.

(1)、 ${(x - 1)}^{2} - 2 = 0$ ；

(2)、 $\frac{1}{2} t^{2} + 2 t = 1$

(3)、 $x (x - 2) = x - 2$

(4)、 $3 x^{2} - 5 x - 2 = 0.$

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20. 设 $a ， b$ 是一个直角三角形的两条直角边的长，且 $(a^{2} + b^{2}) (a^{2} + b^{2} + 1) = 12$ ，求这个直角三角形的斜边长 $c$ 的值.

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21. 某种品牌的衬衫，进货时的单价为 $50$ 元.如果按每件 $60$ 元销售，可销售 $800$ 件；售价每提高 $1$ 元，其销售量就减少 $20$ 件.若要获得 $12000$ 元的利润，则每件的售价为多少元?

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22. 如图，已知 $R t Δ A B C ， ∠ A C B = 90 °$ .

(1)、请在图中用无刻度的直尺和圆规作一个圆，使得圆心 $О$ 在边 $A C$ 上，且与边 $A B ， B C$ 所在直线相切（不写作法，保留作图痕迹）；

(2)、在（1）的条件下，若 $A C = 9 ， B C = 12$ ，求 $⊙ O$ 的半径.

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23. 在 $⊙ O$ 中，弦 $C D$ 与直径 $A B$ 相交于点 $P ， ∠ A B C = 62 °$ .

(1)、如图1，若 $∠ A P C = 100 °$ ，求 $∠ B A D$ 和 $∠ C D B$ 的大小；

(2)、如图2，若 $C D ⊥ A B$ ，过点 $D$ 作 $⊙ O$ 的切线，与 $A B$ 的延长线相交于点 $E$ ，求 $∠ E$ 的大小.

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24. 已知：如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ} ， A C = B C = 4 c m ，$ 点 $P$ 从点 $C$ 出发沿 $C B$ 以 $1 c m / s$ 的速度向点 $B$ 运动，同时点 $Q$ 从点 $B$ 出发沿 $B A$ 以 $\sqrt{2} c m / s$ 的速度向点 $A$ 运动，当点 $Р$ 到达终点时，点 $Q$ 也随即停止运动，设点 $P$ 的运动时间为 $t s$ .以点 $Р$ 为圆心， $P Q$ 长为半径作 $⊙ Р$ .

(1)、若 $P Q = \sqrt{5}$ ，求 $t$ 的值；

(2)、若 $⊙ Р$ 与线段 $A B$ 有唯一公共点，求 $t$ 的取值范围.

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25. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $⊙ O$ 的半径为 $1$ .对于图形 $M$ ，给出如下定义： $P$ 为图形 $M$ 上任意一点， $Q$ 为 $⊙ O$ 上任意一点，如果 $P ， Q$ 两点之间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形 $M$ 的“圆距”，记作 $d (M)$ .如图，已知点 $A (2 ， 0)$ .

(1)、直接写出 $d$ （点 $A$ ）的值；

(2)、设 $T$ 是直线 $y = - 2 x + 4$ 上一点，以为 $T$ 圆心， $1$ 长为半径作 $⊙ T$ .若 $d (⊙ T)$ 满足 $6 \leq d (⊙ O) \leq 12$ ，求圆心 $T$ 的横坐标 $x$ 的取值范围；

(3)、过点 $A$ 画直线 $y = k x - 2 k$ 与 $y$ 轴交于点 $B$ ，当 $d$ （线段 $A B$ ）取最小值时，直接写出 $k$ 的取值范围.

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