福建省福州市长乐区2020-2021学年九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-09-14 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列图形是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 二次函数 $y = (x - 3) (x + 2)$ 图象的对称轴是（）

A、 $x = 3$ B、 $x = - 2$ C、 $x = - \frac{1}{2}$ D、 $x = \frac{1}{2}$

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3. 如图，AB为⊙O直径，∠BCD＝30°，则∠ABD为（）

A、30° B、40° C、50° D、60°

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4. 抛物线y=x²-4x+5的顶点坐标是（）

A、（-2，1） B、（2，1） C、（-2，-1） D、（2，-1）

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5. 如图， $A B$ 是⊙O的直径， $A C$ 切⊙O于点 $A$ ， $B C$ 交⊙O于点 $D$ ，若 $∠ C = 60 °$ ，则 $∠ A O D$ 的度数为（）

A、40° B、50° C、60° D、70°

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6. 已知抛物线y＝ax²＋bx＋c(a<0)过A(－3，0)，B(1，0)，C(－5，y₁)，D(5，y₂)四点，则y₁与y₂的大小关系是（）

A、y₁>y₂ B、y₁＝y₂ C、y₁<y₂ D、不能确定

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7. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著.书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是“今有直角三角形(如图)，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少？”（）

A、3步 B、5步 C、6步 D、8步

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8. 二次函数 $y = {ax}^{2} + bx + c$ 的图象如图所示，以下结论中正确的是 $($ $)$

A、 $abc < 0$ B、 $4 ac - b^{2} > 0$ C、当 $x < 1$ 时，y随x的增大而减小 D、 $4 a - 2 b + c > 0$

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9. 在 $Δ A B C$ 中，已知 $∠ A B C = 90 °$ ， $∠ B A C = 30 °$ ， $B C = 1$ .如图所示，将 $Δ A B C$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转 $90 °$ 后得到 $Δ A B^{'} C^{'}$ .则图中阴影部分面积为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π - \sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{π - \sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2} π$

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10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点P是AB上一动点，以点C为旋转中心，将△ACP顺时针旋转到△BCQ的位置，则PQ最小值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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二、填空题

11. 将抛物线 $y = {(x - 3)}^{2} - 4$ 向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线解析式是.

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12. 以原点为中心，把 $M (3 ， 4)$ 逆时针旋转90°得到点 $N$ ，则点 $N$ 的坐标为.

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13. 如图，四个三角形拼成一个风车图形，若 $A B = 2$ ，当风车转动90°时，点 $B$ 运动路径的长度为.

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14. 用半径为4，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为.

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15. 如图，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O.若直线 PA 与⊙O 相切于点 A，则∠PAB＝.

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16. 二次函数 $y = a x^{2} - 2 x (a > 0)$ 的图象如图所示，对称轴为直线 $x = 1$ ，若关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} - 2 x$ $- t = 0$ （ $t$ 为实数）在 $0 < x < 4$ 的范围内有解，则 $t$ 的取值范围是.

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三、解答题

17. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 三个顶点的坐标分别是 $A (2 ， 4)$ 、 $B (1 ， 2)$ 、 $C (5 ， 3)$ .

（1）以点 $O (0 ， 0)$ 为旋转中心，将 $△ A B C$ 顺时针转动90°，得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，在坐标系中画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；
（2）作出 $△ A B C$ 关于点 $O$ 的中心对称图形 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ .

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18. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的顶点坐标为 $(2 ， - 1)$ ，并经过 $(4 ， 3)$ 点，求二次函数的解析式，并在所给的坐标平面内画出这条抛物线.（不要求列表）

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19. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝10，CD＝8，求线段AE的长.

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20. 已知：如图，将△ADE绕点A顺时针旋转得到△ABC，点E对应点C恰在D的延长线上，若BC∥AE.求证：△ABD为等边三角形.

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21. 已知抛物线 $y = m x^{2} + (1 - 2 m) x + m$ 与 $x$ 轴有两个不同的交点.

(1)、求 $m$ 的取值范围；

(2)、证明该抛物线一定经过某一定点 $P$ ，并求出该定点的坐标.

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22. 如图， $A B$ 是⊙O的直径，点 $C$ 在⊙O上， $B D$ 平分 $∠ A B C$ 交⊙O于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $D E ⊥ B C$ ，垂足为 $E$ .

(1)、求证： $D E$ 与⊙O相切；

(2)、若 $A B = 10$ ， $A D = 6$ ，求 $D E$ 的长.

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23. 某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件.市场调查反映：如果每件的售价每涨1元（售价每件不能高于45元），那么每星期少卖10件.设每件涨价x元（x为非负整数），每星期的销量为y件.

(1)、求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；

(2)、如何定价才能使每星期的利润最大且每星期的销量较大？每星期的最大利润是多少？

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24. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于⊙O， $A C$ 是⊙O的直径， $E$ 是 $A B$ 上一点， $∠ A E O = ∠ D A C = 30 °$ ，连接 $B D$ .

(1)、求证： $△ O A E ≌ △ C D B$ ；

(2)、连接 $D E$ ，若 $D E ⊥ A B$ ， $O A = 2$ ，求 $B C$ 的长.

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25. 如图，已知二次函数 $y = \frac{1}{2} {(x - m)}^{2} - 5$ 图象的顶点为 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，点 $P (- 1 ， n)$ （与顶点 $A$ 不重合）在该函数的图象上.

(1)、当 $m = 3$ 时，求 $n$ 的值；

(2)、当 $n = - 3$ 时，若点 $A$ 在第三象限内，结合图象，求当 $y \leq - 3$ 时，自变量 $x$ 的取值范围；

(3)、作直线 $A P$ 与 $y$ 轴相交于点 $C$ .当点 $B$ 在 $x$ 轴下方，且在线段 $O C$ 上时，求 $m$ 的取值范围.

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