2022届新高考一轮复习第五章三角函数的图像与性质同步练习

试卷更新日期：2021-09-12 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 若函数 $f (x) = \cos (ω x + \frac{π}{6})$ 的最小正周期为 $π$ ，则 $ω =$ （）

A、1 B、±1 C、2 D、±2

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2. 将函数 $f (x) = \sin 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位得到函数 $y = g (x)$ 的图象，则函数 $g (x)$ 的图象的一条对称轴方程为（）

A、 $x = - \frac{π}{6}$ B、 $x = - \frac{π}{12}$ C、 $x = \frac{π}{12}$ D、 $x = \frac{π}{6}$

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3. 函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的部分图象如图所示，要得到 $y = f (x)$ 的图象，只需将 $y = 2 \cos ω x$ 的图象（）

A、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 D、向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度

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4. 已知当 $x = θ$ 时，函数 $f (x) = 2 \cos x - \sin x$ 取得最小值，则 $\cos θ =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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5. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | > 0)$ ，其图象关于点 $(- \frac{π}{6} ， 0)$ 对称且相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ，则下列判断正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{5}{12} π$ 对称 B、当 $x = - \frac{π}{12}$ 时，函数 $f (x)$ 的值为 $\sqrt{3}$ C、要得到函数 $f (x)$ 的图象，只需将 $y = 2 \cos 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位 D、函数 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{6}]$ 上单调递增

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6. 把函数 $y = f (x)$ 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，得到函数 $y = \sin (x - \frac{π}{4})$ 的图象，则 $f (x) =$ （）

A、 $\sin (\frac{x}{2} - \frac{7 π}{12})$ B、 $\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{12})$ C、 $\sin (2 x - \frac{7 π}{12})$ D、 $\sin (2 x + \frac{π}{12})$

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7. 已知函数 $f (x) = a \sin x - \sqrt{3} \cos x$ 的图象的一条对称轴为 $x = - \frac{π}{6}$ ，且 $f (x_{1}) \cdot f (x_{2}) = - 4$ ，则 $| x_{1} + x_{2} |$ 的最小值为（）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、0

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8. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ ，其图象与直线 $y = 1$ 相邻两个交点的距离为 $π$ ，若对 $\forall x \in (\frac{π}{24} ， \frac{π}{3})$ ，不等式 $f (x) > \frac{1}{2}$ 恒成立，则 $φ$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{π}{12} ， \frac{π}{6}]$ B、 $(\frac{π}{12} ， \frac{π}{3})$ C、 $[\frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ D、 $(\frac{π}{6} ， \frac{π}{2})$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | \leq \frac{3 π}{2})$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $ω = 2$ B、 $ω = \frac{26}{7}$ C、 $φ = \frac{7 π}{6}$ D、 $φ = - \frac{π}{6}$

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10. 已知函数

f (x) = A \sin (ω x + φ) + B (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < π)

的部分自变量、函数值如下表所示，下列结论正确的是（）．

$x$				$\frac{π}{3}$	$\frac{7 π}{12}$
$ω x + φ$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3 π}{2}$	2π
$f (x)$	2	5

A、函数解析式为

f (x) = 3 \sin (2 x + \frac{5 π}{6}) + 2

B、函数

f (x)

图象的一条对称轴为

x = - \frac{2 π}{3}

C、

(- \frac{5 π}{12} ， 0)

是函数

f (x)

图象的一个对称中心 D、函数

f (x)

的图象左平移

\frac{π}{12}

个单位，再向下移2个单位所得的函数为奇函数

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11. 已知函数 $f (x) = A \cos (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图像如图所示，则下列关于函数 $f (x)$ 的说法中正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 最靠近原点的零点为 $- \frac{π}{3}$ B、函数 $f (x)$ 的图像在 $y$ 轴上的截距为 $\sqrt{3}$ C、函数 $f (x - \frac{5 π}{6})$ 是偶函数 D、函数 $f (x)$ 在 $(2 π ， \frac{7 π}{3})$ 上单调递增

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12. 已知函数 $f (x) = \sin [\cos x]$ （[ $x$ ]表示不超过实数 $x$ 的最大整数部分），则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、 $f (x)$ 是偶函数 C、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 单调递减 D、 $f (x)$ 的值域为 $[- \sin 1 ， \sin 1]$

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三、填空题

13. 函数 $y = \tan (\frac{1}{2} x + \frac{π}{8})$ 的最小正周期 $T =$ .

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14. 写出一个图象关于直线 $x = 2$ 对称且在 $[0 ， 2]$ 上单调递增的偶函数 $f (x) =$ .

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15. 若将函数 $f (x) = \sin (ω x - \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度后得到的新图象与原图象关于x轴对称，则 $ω$ 的最小值为.

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16. 关于函数 $f (x) = 4 \sin (π x - \frac{π}{6})$ 有如下四个命题：
① $f (x)$ 的最小正周期为2；

② $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{7}{6} ， 0)$ 对称；

③若 $f (a - x) = f (a + x)$ ，则 $| a |$ 的最小值为 $\frac{2}{3}$ ；

④ $f (x)$ 的图象与曲线 $y = \frac{1}{x} (0 < x < \frac{25}{6})$ 共有4个交点．

其中所有真命题的序号是．

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = 3 \sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{6}) + 3$ .

(1)、用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；

(2)、指出 $f (x)$ 的振幅、初相、并求出对称中心.

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18. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 在一个周期内的图象如图所示.

(1)、求f（x）的解析式；

(2)、将函数 $y = f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，求 $g (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上的单调递增区间.

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19. 已知函数 $g (x) = 2 \sin (2 x)$ ，将其向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度后得到函数 $y = f (x)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和单调递减区间．

(2)、若 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ ，求 $f (x)$ 的值域．

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20. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 由下列四个条件中的三个来确定：
①最小正周期为 $π$ ；②最大值为2；③ $f (- \frac{π}{6}) = 0$ ；④ $f (0) = - 2$ ．

(1)、写出能确定 $f (x)$ 的三个条件，并求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求 $f (x)$ 的单调递增区间．

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21. 已知函数 $f (x) = 2 \cos^{2} ω_{1} x + \sin ω_{2} x$ .
(I)求f(0)的值；

(II)从① $ω_{1} = 1 ， ω_{2} = 2$ ；② $ω_{1} = 1 ， ω_{2} = 1$ 这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数f(x)在 $[- \frac{π}{2} ， \frac{π}{6}]$ 上的最小值，并直接写出函数f(x)的一个周期.

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22. 如图，已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的图象与 $y$ 轴交于点 $(0 ， - \frac{1}{2})$ ，且 $(\frac{π}{3} ， 1)$ 该图象的最高点．

(1)、求函数 $y = f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上的零点；

(2)、若函数 $y = f (λ x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 内单调递增，求正实数 $λ$ 的取值范围．

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