2022届新高考一轮复习第五章三角函数之任意角与任意角的三角函数步练习

试卷更新日期：2021-09-12 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 已知角 $θ$ 终边经过点 $P (\sqrt{2}, a)$ ，若 $θ = - \frac{π}{3}$ ，则 $a =$ （）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $- \sqrt{6}$ D、 $- \frac{\sqrt{6}}{3}$

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2. 已知角 $θ$ 的始边与 $x$ 轴非负半轴重合，终边过点 $A (- 3 ， 4)$ ，则 $\tan θ =$ （）

A、 $- \frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $- \frac{4}{3}$ D、 $\frac{4}{3}$

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3. 已知 $α \in (0, π)$ ，且 $\sin α + \cos α = \frac{1}{5}$ ，则 $\sin α - \cos α =$ （）

A、 $\pm \frac{7}{5}$ B、 $\frac{7}{5}$ C、 $- \frac{7}{5}$ D、 $\frac{49}{25}$

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4. 已知 $\cos (\frac{π}{2} - α) = \frac{1}{2}$ ，则 $sin α$ = （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、- $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 - $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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5. 若 $α$ 是第二象限角，则（）

A、 $\cos (- α) > 0$ B、 $\tan \frac{α}{2} > 0$ C、 $\sin 2 α > 0$ D、 $\cos (π - α) < 0$

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6. 密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为6000份，每一份叫做 $1$ 密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如密位7写成“ $0 - 07$ ”，478密位写成“ $4 - 78$ ”，1周角等于6000密位，记作1周角 $= 60 - 00$ ， $1$ 直角 $= 15 - 00$ ．如果一个半径为2的扇形，它的面积为 $\frac{7}{6} π$ ，则其圆心角用密位制表示为（）

A、12-50 B、17-50 C、21-00 D、35-00

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7. 已知 $\sin (\frac{π}{4} - α) = \frac{1}{3}$ ，则 $\cos (α + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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8. 《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积 $= \frac{1}{2} \times$ （弦×矢+矢²），弧田（如图阴影部分所示）是由圆弧和弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为 $\frac{2}{3} π$ ，矢为4的弧田，按照上述方法计算出其面积是（）

A、 $4 + 4 \sqrt{3}$ B、 $8 + 4 \sqrt{3}$ C、 $8 + 8 \sqrt{3}$ D、 $8 + 16 \sqrt{3}$

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二、多选题

9. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $α$ 顶点在原点 $O$ ，以 $x$ 正半轴为始边，终边经过点 $P (1, m) (m < 0)$ ，则下列各式的值恒大于0的是（）

A、 $\frac{\sin α}{\tan α}$ B、 $\cos α - \sin α$ C、 $\sin α \cos α$ D、 $\sin α + \cos α$

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10. 斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法画出：如图，在黄金矩形 $A B C D$ $(\frac{A B}{B C} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2})$ 中作正方形 $A B F E$ ，以 $F$ 为圆心， $A B$ 长为半径作弧 $\overset{⌢}{B E}$ ；然后在黄金矩形 $C D E F$ 中作正方形 $D E H G$ ，以 $H$ 为圆心， $D E$ 长为半径作弧 $\overset{⌢}{E G}$ ； $\dots$ $\dots$ ；如此继续下去，这些弧就连接成了斐波那契螺线.记弧 $\overset{⌢}{B E}$ ， $\overset{⌢}{E G}$ ， $\overset{⌢}{G I}$ 的长度分别为 $l$ ， $m$ ， $n$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $l = m + n$ B、 $m^{2} = l \cdot n$ C、 $2 m = l + n$ D、 $\frac{1}{m} = \frac{1}{l} + \frac{1}{n}$

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三、填空题

11. 已知 $\sin x = \frac{3}{5}$ ， $x \in (\frac{π}{2} ， π)$ ，则cos(π﹣x)=.

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12. 已知 $\sin α = 3 \cos α$ ，则 $\sin^{2} α - 2 \cos^{2} α =$ ．

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13. 在平面直角坐标系中，角 $α$ 的顶点为坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，若 $0 < α < π$ ，点 $\begin{array}{l} P (1 - \tan^{2} \frac{π}{12}, 2 \tan \frac{π}{12}) \end{array}$ 在角 $α$ 的终边上，则角 $α =$ .(用弧度表示)

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14. 已知一扇形的圆心角为 $\frac{π}{3}$ ，半径为 $10$ ，则扇形弧所在弓形的面积．

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15. 已知角 $α$ 的终边经过点 $P (- x, - 6)$ ，且 $\cos α = - \frac{3}{5}$ ，则 $\frac{1}{\sin α} + \frac{1}{\tan α} =$ ．

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四、解答题

16. 已知 $f (α) = \frac{\sin (\frac{π}{2} + α) + 3 \sin (- π - α)}{2 \cos (\frac{11 π}{2} - α) - \cos (5 π - α)}$ .
（Ⅰ）化简 $f (α)$ ；（Ⅱ）已知 $\tan α = 3$ ，求 $f (α)$ 的值．

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17. 已知角 $α$ 的终边经过点 $P (12, - 5)$ .

(1)、求 $\sin α$ ， $\cos α$ ；

(2)、求 $f (α) = \frac{\cos (\frac{π}{2} + α) - 2 \cos (π + α)}{\sin (π - α) + 2 \cos (- α)}$ 的值.

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18. 已知 $x \in (- π ， 0)$ ，且 $sin x + cos x = \frac{1}{5}$

(1)、求 $sin x - cos x$ 的值；

(2)、求 $4 sin x cos x - {cos}^{2} x$ 的值.

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19. 如图，在直角坐标系xOy中，角 $α$ 的顶点是原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且 $α \in (\frac{π}{6} ， \frac{π}{2})$ ，将角 $α$ 的终边按照逆时针方向旋转 $\frac{π}{3}$ ，交单位圆于点B，记 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2})$

(1)、若 $x_{1} = \frac{1}{3}$ ，求 $x_{2}$ ；

(2)、分别过A、B做x轴的垂线，垂足依次为C、D，记 $Δ A O C$ 的面积为 $S_{1}$ ， $Δ B O D$ 的面积为 $S_{2}$ ，若 $S_{1} = 2 S_{2}$ ，求角 $α$ 的值.

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