2022届新高考一轮复习第四章导数及其应用极值与最值同步练习

试卷更新日期：2021-09-12 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 已知函数 $f (x) = x \cdot {(x - a)}^{2}$ 在 $x = 2$ 处有极小值，则 $a$ 的值为（）

A、2 B、6 C、2或6 D、-2或6

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2. 若函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + 1$ 在 $x = 1$ 处取极值0，则 $a - b =$ （）

A、0 B、2 C、-2 D、1

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3. 设函数 $f (x) = \frac{2}{x} + \ln x$ ，则（）

A、 $x = \frac{1}{2}$ 时 $f (x)$ 取到极大值 B、 $x = \frac{1}{2}$ 时 $f (x)$ 取到极小值 C、 $x = 2$ 时 $f (x)$ 取到极大值 D、 $x = 2$ 时 $f (x)$ 取到极小值

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4. 函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 4 x + 4$ 在区间 $[- 3 ， 3]$ 上的最大值为（）

A、 $- \frac{4}{3}$ B、1 C、7 D、 $\frac{28}{3}$

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5. 已知函数 $f (x)$ 的导函数为 $f' (x)$ ，且 $y = f' (x)$ 的图像如图所示，则下列结论一定正确的是（）

A、 $f (a) = 0$ B、 $f (x)$ 没有极大值 C、 $x = b$ 时， $f (x)$ 有极大值 D、 $x = c$ 时， $f (x)$ 有极小值

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6. 若函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{e^{x}}$ 的极大值点与极大值分别为a ， b ，则（）

A、 $a < b < a b$ B、 $a < a b < b$ C、 $b < a b < a$ D、 $a b < b < a$

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7. 若 $a \in R$ ，“ $a > 3$ ”是“函数 $f (x) = (x - a) e^{x}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上有极值”的（）．

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 若函数 $f (x) = e^{x} - 2 a x^{2} + 1$ 有两个不同的极值点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a > \frac{e}{4}$ B、 $0 < a < \frac{e}{4}$ C、 $a < - \frac{e}{4}$ D、 $- \frac{e}{4} < a < 0$

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二、多选题

9. 已知 $f' (x)$ 是定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 的导函数，如图是函数 $y = x f' (x)$ 的图象，则下列关于函数 $f (x)$ 性质说法正确的是（）

A、单调递增区间是 $(- \infty ， - 3)$ ， $(0 ， 3)$ B、单调递减区间是 $(- \infty ， - 3)$ ， $(3 ， + \infty)$ C、 $f (- 3)$ 是极小值 D、 $f (3)$ 是极小值

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10. 已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x (a < 0)$ 的导函数 $y = f^{'} (x)$ 的两个零点为1，2，则下列结论正确的有（）

A、abc＜0 B、 $f (x)$ 在区间[0，3]的最大值为0 C、 $f (x)$ 只有一个零点 D、 $f (x)$ 的极大值是正数

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11. 已知函数 $f (x) = 2 a \ln x + x^{2} + b$ .（）

A、当 $a = - 1$ 时， $f (x)$ 的极小值点为 $(1 ， 1 + b)$ B、若 $f (x)$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上单调递增，则 $a \in [- 1 ， + \infty)$ C、若 $f (x)$ 在定义域内不单调，则 $a \in (- \infty ， 0)$ D、若 $a = - \frac{3}{2}$ 且曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线与曲线 $y = - e^{x}$ 相切，则 $b = - 2$

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12. 已知 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 为函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + 3$ 的两个极值点，直线 $l$ 过 $P (x_{1} ， f (x_{1}))$ ， $Q (x_{2} ， f (x_{2}))$ 两点，则下列说法正确的是（）

A、 $x = 0$ 是 $f (x)$ 的一个极值点 B、若 $f (x)$ 的单调递减区间为 $(0 ， \frac{2}{3})$ ，则 $a = - 1$ C、若 $l$ 的斜率为-2，则 $a = - 3$ D、当 $a = 3$ 时， $f (x)$ 的图象关于点 $(- 1 ， 5)$ 对称

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三、填空题

13. 已知a为函数f(x)=x³-12x的极小值点,则a=.

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14. 若函数f（x）=x²+（a+3）x+lnx在区间（1，2）上存在唯一的极值点，则实数a的取值范围为．

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15. 已知函数 $f (x) = 2 \ln x + \frac{a}{x^{2}} (a > 0) .$ 若当 $x \in (0, + \infty)$ 时， $f (x) \geq 2$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是．

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16. 已知函数 $f (x) = \frac{\sin x - 1}{\sin x + 2}$ ，则关于函数性质，下列说法正确的有．
⑴ $f (x)$ 关于 $(π ， - \frac{1}{2})$ 中心对称；

⑵ $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ；

⑶ $f (x)$ 关于 $x = - \frac{π}{2}$ 轴对称；

⑷ $f (x)$ 在 $x \in (0 ， 7)$ 上有且仅有一个极大值；

⑸-2是 $f (x)$ 的一个极小值．

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = x^{3} - a x + b$ 在 $x = 1$ 处的切线方程为 $y = 0$ .

(1)、求实数 $a$ 、 $b$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[- 1 ， 2]$ 上的最大值与最小值之和.

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 4 x + 4$

(1)、求出函数 $f (x)$ 的单调区间

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[- 3 ， 4]$ 上的最大值和最小值.

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19. 已知函数 $f (x) = x e^{x} + e^{x}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间和极值；

(2)、画出函数 $f (x)$ 的大致图象，并说明理由；

(3)、求函数 $g (x) = f (x) - a (a \in R)$ 的零点的个数.

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20. 设函数 $f (x) = x^{3} - a x^{2} + 1$ ．

(1)、若 $f (x)$ 在 $x = 3$ 处取得极值，求a的值；

(2)、若 $f (x)$ 在 $[- 2 ， - 1]$ 上单调递减，求a的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x$ 在 $x = 1$ 处有极值2．

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、若 $x \in [- 2 ， \frac{1}{2}]$ ，函数 $g (x) = m - f (x)$ 有零点，求实数 $m$ 的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{\ln x + a x + 1}{x}$ ， $a \in R$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间，并求当 $a = 1$ 时， $f (x)$ 的最大值；

(2)、若对任意的 $x \in (0 ， + \infty)$ ， $f (x) ⩽ e^{x}$ 恒成立，求a的取值范围.

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