2022届新高考一轮复习第三章基本初等函数函数同步练习

试卷更新日期：2021-09-12 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = x^{2} - 2 x (x ⩾ 0)$ ，则函数 $f (x)$ 的零点个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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2. 函数 $f (x) = 1 - 3 \sin x$ 在 $(- 2 π ， \frac{5 π}{6})$ 上的零点个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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3. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 3^{x} - 2 ， x > 0 \\ x + \log_{3} 6 ， x \leq 0 \end{array}$ 的零点之和为（）

A、-1 B、1 C、-2 D、2

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4. 函数 $f (x) = \ln x - \frac{2}{x} + 1$ 的零点所在的大致区间是（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(2 ， e)$ C、 $(e ， 3)$ D、 $(3 ， + \infty)$

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5. 已知函数 $f (x) = \ln x + a e^{x - 1} + 1$ 的图象与函数 $g (x) = \ln \frac{1}{2 - x} - a e^{1 - x} - 1$ 的图象有唯一公共点，则实数a的值为（）

A、1 B、0 C、 $\sqrt{2}$ D、-1

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6. 若关于 $x$ 的方程 ${(\ln x)}^{2} - a x | \ln x | + a x^{2} - x^{2} = 0$ 有4个不同的根，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{e} ， 1)$ B、 $(\frac{1}{e} ， 1) \cup (2 ， e)$ C、 $(1 ， \frac{1}{e} + 1)$ D、 $(\frac{1}{e} ， 2)$

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7. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} ， x \geq 0 ， \\ 3 - f (- x) ， x < 0 ， \end{array}$ 若函数 $y = f (f (x)) - a$ 有且只有1个零点，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 1) \cup [2 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 0) \cup [4 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 1) \cup [4 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 1) \cup [2 ， + \infty)$

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8. 已知图象连续不断的函数 $f (x)$ 的定义域为R， $f (x)$ 是周期为2的奇函数， $y = | f (x) |$ 在区间 $[- 1 ， 1]$ 上恰有5个零点，则 $f (x)$ 在区间 $[0 ， 2020]$ 上的零点个数为（）

A、5050 B、4041 C、4040 D、2020

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二、多选题

9. 若函数 $f (x)$ 的图像在R上连续不断，且满足 $f (0) < 0$ ， $f (1) > 0$ ， $f (2) > 0$ ，则下列说法错误的是（）

A、 $f (x)$ 在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点 B、 $f (x)$ 在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点 C、 $f (x)$ 在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点 D、 $f (x)$ 在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点

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10. 已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} - 1}{2^{x} + 1}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 为奇函数 B、 $f (x)$ 为减函数 C、 $f (x)$ 有且只有一个零点 D、 $f (x)$ 的值域为 $[- 1 ， 1)$

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11. 如图，函数 $f (x)$ 的图象由一条射线和抛物线的一部分构成， $f (x)$ 的零点为 $- \frac{1}{2}$ ，则（）

A、函数 $g (x) = f (x) - f (4) \cdot \lg \frac{3}{2}$ 有3个零点 B、 $f (| x |) \geq \log_{8} 4$ 恒成立 C、函数 $h (x) = | f (x) | - \frac{f (4)}{4}$ 有4个零点 D、 $f (x + \frac{25}{12}) ⩾ f (x)$ 恒成立

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12. 设函数 $f (x) = \frac{x + e^{| x |}}{x}$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $f (x)$ 为奇函数 B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(0 ， 1)$ 对称 C、 $f (x)$ 的最小值为 $e + 1$ D、若 $\frac{f (x)}{f (x) - 1} = k$ 有两个不等实根，则 $1 - \frac{1}{e} < k < 1 + \frac{1}{e}$ ，且 $k \neq 1$

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三、填空题

13. 若二次函数 $y = x^{2} + a x + b$ 的两个零点分别是2和3，则 $2 a + b$ 的值为.

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14. 若函数 $f (x) = {\begin{matrix} e^{x} ， x \leq 0 \\ x^{2} - 1 ， x > 0 \end{matrix}$ ，则函数 $y = f (x) - 1$ 的零点是.

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15. 已知函数 $f (x) = x^{3} - a x + 1$ ， $g (x) = 3 x - 2$ ，若函数 $F (x) = {\begin{matrix} f (x) ， f (x) \geq g (x) \\ g (x) ， f (x) < g (x) \end{matrix}$ 有三个零点，则实数a的取值范围是.

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16. 同学们，你们是否注意到：自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深涧的观光索道的钢索．这些现象中都有相似的曲线形态．事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线．悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用．在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为 $f (x) = a e^{x} + b e^{- x}$ （其中 $a$ ， $b$ 是非零常数，无理数 $e = 2.71828$ …），对于函数 $f (x)$ 以下结论正确的是．
①如果 $a = b$ ，那么函数 $f (x)$ 为奇函数；

②如果 $a b < 0$ ，那么 $f (x)$ 为单调函数；

③如果 $a b > 0$ ，那么函数 $f (x)$ 没有零点；

④如果 $a b = 1 ，$ 那么函数 $f (x)$ 的最小值为2．

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四、解答题

17. 画出函数f(x)＝－x²＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题.

(1)、比较f(0)，f（1），f（3）的大小；

(2)、若x₁<x₂<1，比较f(x₁)与f(x₂)的大小；

(3)、求函数f(x)的值域；

(4)、若关于x的方程f(x)＝k在[－1，2]内仅有一个实根，求k的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x) = x \ln x + a$ ， $a < 0$ .

(1)、证明： $f (x)$ 有且仅有一个零点；

(2)、当 $a \in (- 2 e^{2} ， 0)$ 时，试判断函数 $g (x) = \frac{1}{2} x^{2} \ln x - \frac{1}{4} x^{2} + a x$ 是否有最小值？若有，设最小值为 $h (a)$ ，求 $h (a)$ 的值域；若没有，请说明理由.

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19. 已知函数 $f (x) = \log_{4} (4^{x} + 1) + k x (k \in R)$ 是偶函数.

(1)、求k的值；

(2)、设 $g (x) = \log_{4} (a \cdot 2^{x} - \frac{4}{3} a)$ ，若函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围.

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