2022届新高考一轮复习第三章基本初等函数之幂函数同步练习

试卷更新日期：2021-09-11 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 下列幂函数在区间 $(0, + \infty)$ 内单调递减的是（）

A、 $y = x$ B、 $y = x^{2}$ C、 $y = x^{3}$ D、 $y = x^{- 1}$

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2. 已知幂函数 $y = f (x)$ 的图象过点(4，2)，则 $f (16) =$ （）

A、2 B、4 C、2或-2 D、4或-4

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3. 如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（）

A、① $y = x^{\frac{1}{3}}$ ，② $y = x^{2}$ ，③ $y = x^{\frac{1}{2}}$ ，④ $y = x^{- 1}$ B、① $y = x^{3}$ ，② $y = x^{2}$ ，③ $y = x^{\frac{1}{2}}$ ，④ $y = x^{- 1}$ C、① $y = x^{2}$ ，② $y = x^{3}$ ，③ $y = x^{\frac{1}{2}}$ ，④ $y = x^{- 1}$ D、① $y = x^{3}$ ，② $y = x^{\frac{1}{2}}$ ，③ $y = x^{2}$ ，④ $y = x^{- 1}$

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4. 若 $a = 3^{e}$ ， $b = e^{3}$ ， $c = π^{3}$ ，其中 $e$ 为自然对数的底数，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $a < c < b$ D、 $b < c < a$

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5. 已知幂函数 $f (x) = (m - 2) x^{m}$ ，若 $a = f (ln m)$ ， $b = f ({0.2}^{m})$ ， $c = f (\log_{m} 0.2)$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > a > c$ D、 $b > c > a$

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6. 已知幂函数 $f (x) = {(m - 1)}^{2} x^{m^{2} - 4 m + 2}$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增，函数 $g (x) = 2^{x} - t$ ，任意 $x_{1} \in [1, 6)$ 时，总存在 $x_{2} \in [1, 6)$ 使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ ，则t的取值范围是（）

A、 $1 < t < 28$ B、 $1 \leq t \leq 28$ C、 $t > 28$ 或 $t < 1$ D、 $t \geq 28$ 或 $t \leq 1$

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7. 已知函数 $f (x) = (m^{2} - m - 5) x^{m^{2} - 6}$ 是幂函数，对任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (0, + \infty)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，满足 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ，若 $a$ ， $b \in R$ ，且 $a + b > 0$ ，则 $f (a) + f (b)$ 的值（）

A、恒大于0 B、恒小于0 C、等于0 D、无法判断

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8. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 3 m + 3) x^{m + 1}$ 的图像关于原点对称，则满足 ${(a + 1)}^{m} > {(3 - 2 a)}^{m}$ 成立的实数a的取值范围为（）

A、 $(- \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$ B、 $(- 2, - \frac{2}{3})$ C、 $(- 2, \frac{2}{3})$ D、 $(\frac{2}{3}, 4)$

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二、多选题

9. 如果幂函数 $f (x) = m \cdot x^{α}$ 的图象过 $(2, \frac{1}{4})$ ，下列说法正确的有（）

A、 $m = 1$ 且 $α = - 2$ B、 $f (x)$ 是偶函数 C、 $f (x)$ 在定义域上是减函数 D、 $f (x)$ 的值域为 $(0, + \infty)$

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10. 已知幂函数 $y = x^{α}$ 的图像如图所示，则a值可能为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、3

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11. 已知幂函数 $f (x)$ 图像经过点 $(4 ， 2)$ ，则下列命题正确的有（）

A、函数为增函数 B、函数为偶函数 C、若 $x \geq 9$ ，则 $f (x) \geq 3$ D、若 $x_{2} > x_{1} > 0$ ，则 $\frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2} > f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$

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三、填空题

12. 幂函数 $y = x^{m^{2} + 2 m - 1} (m \in N)$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 上是减函数，则 $m =$ .

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13. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 3 m + 3) x^{m}$ 是偶函数，则 $f (2) =$ .

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14. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} + m - 1) x^{m}$ 的图像如右图所示，那么实数m的值是．

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15. 不等式 ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}} > {(3 x + 1)}^{\frac{2}{3}}$ 的解集为.

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16. 已知点 $(a, 8)$ 在幂函数 $f (x) = (a - 1) x^{b}$ 的图象上，若 $f (m) + f (1 - 3 m) < 0$ ，则实数 $m$ 的取值范围为．

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四、解答题

17. 已知幂函数f（x）=（m²–5m+7）x^–^m^–¹（m∈R）为偶函数．

(1)、求 $f (\frac{1}{2})$ 的值；

(2)、若f（2a+1）=f（a），求实数a的值．

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18. 已知函数 $h (x) = (m^{2} - 5 m + 1) x^{m + 1}$ 为幂函数，且为奇函数.

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、求函数 $g (x) = h (x) + \sqrt{1 - 2 x}$ 在 $x \in [- 1, \frac{1}{2}]$ 的值域.

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19. 已知函数 $f (x) = (a^{2} - a - 1) x^{(1 - a) (2 + a)}$ 是幂函数 $(a \in R)$ ，且 $f (1) < f (2)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、试判断是否存在实数 $b$ ，使得函数 $g (x) = 3 - f (x) + 2 b x$ 在区间 $[- 1 ， 1]$ 上的最大值为6，若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由.

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20. 已知幂函数 $f (x) = x^{\frac{1}{m^{2} + m}} (x \in N^{*})$ .

(1)、试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；

(2)、若该函数还经过点(2， $\sqrt{2}$ )，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)＞f(a－1)的实数a的取值范围．

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21. 已知幂函数 $f (x) = x^{- 3 m + 5} (m \in N)$ 为偶函数，且在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增.
（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的解析式；

（Ⅱ）设函数 $g (x) = f (x) + 2 λ x - 1$ ，若 $g (x) < 0$ 对任意 $x \in [1, 2]$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围.

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22. 已知幂函数 $f (x) = (p^{2} - 3 p + 3) x^{p^{2} - \frac{3}{2} p - \frac{1}{2}} (p \in R)$ 满足 $f (2) < f (4)$ .

(1)、求函数的解析式；

(2)、若函数 $g (x) = {[f (x)]}^{2} + m f (x)$ ， $x \in [1, 9]$ ，且 $g (x)$ 的最小值为0，求实数 $m$ 的值.

(3)、若函数 $h (x) = n - f (x + 3)$ ，是否存在实数 $a, b (a < b)$ ，使函数 $h (x)$ 在 $[a, b]$ 上的值域为 $[a, b]$ ？若存在，求出实数 $n$ 的取值范围，若不存在，请说明理由.

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