2022届新高考一轮复习第三章函数奇偶性同步练习

试卷更新日期：2021-09-11 类型：一轮复习

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一、单选题

1. f（x）为奇函数，且在（﹣∞，0）上为增函数，g（x）为偶函数且在（﹣∞，0）上为增函数，则在（0，+∞）上（　　）

A、两个都是增函数 B、两个都是减函数 C、f（x）为增函数，g（x）为减函数 D、f（x）为减函数，g（x）为增函数

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2. 设函数 $f (x)$ 在 $(- \infty ， + \infty)$ 内有定义，下列函数必为奇函数的是（）

A、 $y = - | f (x) |$ B、 $y = x f (x^{2})$ C、 $y = - f (- x)$ D、 $y = f (x) + f (- x)$

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3. 设函数 $g (x) = f (x) + x^{2}$ 是定义在R上的奇函数，且 $F (x) = f (x) + 3^{x}$ ，若 $f (1) = 1$ ，则 $F (- 1) =$ （）

A、 $- \frac{4}{3}$ B、 $- \frac{7}{3}$ C、 $- \frac{8}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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4. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ ，则下列判断中正确的是（）

A、奇函数，在 $R$ 上为增函数 B、偶函数，在 $R$ 上为增函数 C、奇函数，在 $R$ 上为减函数 D、偶函数，在 $R$ 上为减函数

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5. 设函数 $f (x) = \ln | 3 x + 2 | - \ln | 3 x - 2 |$ ，则 $f (x)$ （）

A、是偶函数，在 $(\frac{2}{3}, + \infty)$ 上单调递减 B、是奇函数，在 $(- \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$ 上单调递增 C、是偶函数，在 $(- \infty, - \frac{2}{3})$ 上单调递增 D、是奇函数，在 $(\frac{2}{3}, + \infty)$ 上单调递增

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6. 已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 在 $(- \infty ， 0]$ 上单调递减若 $f (- 2) = 1$ ，则满足 $| f (2 x) | \leq 1$ 的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1 ， 1]$ B、 $[- 2 ， 2]$ C、 $(- \infty ， - 1] \cup [1 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 2] \cup [2 ， + \infty)$

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7. 函数 $y = \frac{\ln | x |}{x^{2} + 2}$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (5) = 4$ ， $f (x + 3)$ 是偶函数，任意 $x_{1}, x_{2} \in [3, + \infty)$ 满足 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ，则不等式 $f (3 x - 1) < 4$ 的解集为（）

A、 $(\frac{2}{3}, 3)$ B、 $(- \infty, \frac{2}{3}) \cup (2, + \infty)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(\frac{2}{3}, 2)$

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二、多选题

9. 设f(x)为偶函数，且在区间(-∞，0)内单调递增，f(-2)=0，则下列区间中使得xf(x)<0的有（）

A、(-1，1) B、(0，2) C、(-2，0) D、(2，4)

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10. 已知函数 $f (x)$ 是偶函数，且 $f (5 - x) = f (5 + x)$ ，若 $g (x) = f (x) \sin π x$ ， $h (x) = f (x) \cos π x$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $y = g (x)$ 是偶函数 B、10是函数 $f (x)$ 的一个周期 C、对任意的 $x \in R$ ，都有 $g (x + 5) = g (x - 5)$ D、函数 $y = h (x)$ 的图象关于直线 $x = 5$ 对称

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11. 定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 为减函数，偶函数 $g (x)$ 在区间 $[0 ， + \infty)$ 上的图象与 $f (x)$ 的图象重合，设 $a > b > 0$ ，则下列不等式中成立为（）

A、 $f (b) - f (- a) < g (a) - g (- b)$ B、 $f (b) - f (- a) > g (a) - g (- b)$ C、 $f (a) + f (- b) < g (b) - g (- a)$ D、 $f (a) + f (- b) > g (b) - g (- a)$

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12. 已知 $k > 0$ ，函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - \ln (k - x), x < 0, \\ \ln (k + x), x > 0, \end{array}$ 则（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、 $f (x)$ 的值域为 $R$ C、存在 $k$ ，使得 $f (x)$ 在定义域上单调递增 D、当 $k = \frac{1}{2}$ 时，方程 $f (x) = 1$ 有两个实根

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三、填空题

13. 已知函数f(x)= $x^{3} (a \cdot 2^{x} - 2^{- x})$ 是偶函数，则a=

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14. 已知函数f（x）＝ ${\begin{matrix} 2 x - 3 ， x > 0 \\ g (x) ， x < 0 \end{matrix}$ 是（﹣∞，+∞）上的奇函数，则g（﹣1）＝．

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15. 设偶函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $[- 5 ， 5]$ ，若当 $x \in [0 ， 5]$ 时， $y = f (x)$ 的图象如图所示，则不等式 $y = f (x) < 0$ 的解集是．

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16. 函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)+2g(x)=e^x ，若对任意x∈(0，2]，不等式f(2x)﹣mg(x)≥0成立，则实数m的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知函数f（x）＝ $\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}$ ．

(1)、求函数f（x）的定义域；

(2)、判断f（x）的奇偶性并证明．

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18. 已知函数 $f (x) = \log_{a} \frac{x + 1}{x - 1}$ ( $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ).

(1)、求 $f (x)$ 的定义域；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性，并求函数的单调区间.

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19. 已知函数f(x)＝ $(\frac{1}{2^{x} - 1} + \frac{1}{2})$ ·x³.

(1)、求f(x)的定义域；

(2)、判断f(x)的奇偶性；

(3)、求证：f(x)>0.

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20. 函数 $f (x) = \frac{a x - b}{9 - x^{2}}$ 是定义在 $(- 3 ， 3)$ 上的奇函数，且 $f (1) = \frac{1}{8}$ ．

(1)、确定 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断 $f (x)$ 在 $(- 3 ， 3)$ 上的单调性，并用定义证明；

(3)、解不等式 $f (t - 1) + f (2 t) < 0$ ．

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21. 已知函数 $f (x) = \log_{2} (4^{x} + 1) + a x + b (a, b \in R)$ 为偶函数.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、若存在实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3} \in [- 1, \log_{2} (2 + \sqrt{3})]$ ，使得 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = f (x_{3})$ ，求 $b$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} (4^{x} + a) + x$ ( $a \in R$ 且 $a > 0$ ).

(1)、若函数 $f (x)$ 为偶函数，求实数 $a$ 的值；

(2)、对任意的 $x \in [1, + \infty)$ ，不等式 $f (x) - f (- x) \leq - 1$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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