2022届新高考一轮复习第三章函数单调性同步练习

试卷更新日期：2021-09-11 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 下列函数在定义域上是增函数的是（）

A、 $y = \frac{1}{x}$ B、 $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ C、 $y = {(\frac{1}{2})}^{x}$ D、 $y = x^{3}$

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2. 函数 $f (x) = | x - 1 |$ 与 $g (x) = x (x - 2)$ 的单调递增区间分别为（）

A、[1，+∞)，[1，+∞) B、(﹣∞，1]，[1，+∞) C、(1，+∞)，(﹣∞，1] D、(﹣∞，+∞)，[1，+∞)

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3. 函数 $y = \sqrt{x^{2} + 3 x}$ 的单调递减区间为（）

A、 $(- \infty, - \frac{3}{2}]$ B、 $[- \frac{3}{2}, + \infty)$ C、 $[0, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 3]$

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4. 函数 $y = ln (x^{2} - 4 x + 3)$ 的单调递减区间为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} {log}_{a} x ， 0 < x < 1 \\ (4 a - 1) x + 2 a ， x \geq 1 \end{matrix}$ 满足对任意 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 若函数 $f (x) = {log}_{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 4 x + 5)$ 在区间 $(3 m - 2 ， m + 2)$ 内单调递增，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知 $f (x) = (x^{2} + 1) (1 + | x |)$ ，则不等式 $f (lg x) < f (1)$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， \frac{1}{10}) \cup^{} (10 ， + \infty)$ B、 $(\frac{1}{10} ， 10)$ C、 $(0 ， 10)$ D、 $(\frac{1}{100} ， 10)$

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8. 已知 $f (x) = x^{2} + 2 x + 1 + a$ ， $\forall x \in R$ ， $f (f (x)) \geq 0$ 恒成立，则实数a的取值范围为 $($ 　　 $)$

A、 $[\frac{\sqrt{5} - 1}{2} ， + \infty]$ B、 $[\frac{\sqrt{5} - 3}{2} ， + \infty]$ C、 $[- 1 ， + \infty)$ D、 $[0 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论不一定正确的是（）

A、y= $\frac{1}{| f (x)|}$ 在R上为减函数 B、y=|f(x)|在R上为增函数 C、y= $-$ $\frac{1}{f (x)}$ 在R上为增函数 D、y=-f(x)在R上为减函数

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10. 设函数 $f (x) = \frac{\cos 2 x}{2 + \sin x \cos x}$ ，则（）

A、 $f (x) = f (x + π)$ B、 $f (x)$ 的最大值为 $\frac{1}{2}$ C、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{4} ， 0)$ 单调递增 D、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{4})$ 单调递减

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三、填空题

11. 已知y=f(x)是定义在区间(-2，2)上单调递减的函数，若f(m-1)>f(1-2m)，则m的取值范围是.

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12. 已知f(x)是定义在 $(- \infty, 0]$ 上的单调递增函数，且 $f (- 2) = 3$ ，则满足 $f (2 x - 3) < 3$ 的x的取值范围是.

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13. 若 $f (x) + 3 f (\frac{1}{x}) = x + \frac{3}{x} - 2 {log}_{2} x$ 对 $x \in (0 ， + \infty)$ 恒成立，且存在 $x_{0} \in [2 ， 4]$ ，使得 $f (x_{0}) > m$ 成立，则 $m$ 的取值范围为．

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14. 若函数 $f (x) = {\begin{matrix} 2 x^{2} + 10 ， x > 2 \\ (3 - a) \cdot 3^{x} ， x \leq 2 \end{matrix}$ ，在 $R$ 上是单调函数，则 $a$ 的取值范围为．

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15. 已知 $a$ 为正常数， $f (x) = {\begin{matrix} x^{2} + a x + 3 ， x \geq 0 ， \\ 2^{x} + a ， x < 0. \end{matrix}$ ，若 $\exists x_{1} ， x_{2} \in R ，$ 使 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，则实数 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题

16. 定义在[1，4]上的函数f(x)为减函数，解不等式f(1﹣2x)>f(4﹣x²)．

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17.

(1)、利用函数单调性定义证明：（1） $f (x) = - x^{2} + 1$ 在 $(- \infty, 0]$ 上是增函数；

(2)、判断函数 $f (x) = \frac{2}{x - 1}$ 在 $(1, + \infty)$ 的单调性，并求它在 $x \in [2, 6]$ 上的最大值与最小值．

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18. 已知函数 $f (x) = | 2 x - 1 | - a$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，解不等式 $f (x) > x + 1$ ；

(2)、若存在实数x，使得 $f (x) < \frac{1}{2} f (x + 1)$ 成立，求实数a的取值范围.

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19. 已知函数f(x)＝ax²－2x＋1.

(1)、试讨论函数f(x)的单调性；

(2)、若 $\frac{1}{3}$ ≤a≤1，且f(x)在[1,3]上的最大值为M(a)，最小值为N(a)，令g(a)＝M(a)－N(a)，求g(a)的表达式；

(3)、在(2)的条件下，求证：g(a)≥ $\frac{1}{2}$ .

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