高中数学人教A版（2019）选择性必修一圆锥曲线的方程单元测试

试卷更新日期：2021-09-11 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 已知抛物线 $C$ ： $y = 2021 x^{2}$ ，则（）

A、它的焦点坐标为 $(\frac{2021}{4} ， 0)$ B、它的焦点坐标为 $(0 ， \frac{1}{8084})$ C、它的准线方程是 $x = - \frac{1}{8084}$ D、它的准线方程是 $x = - \frac{2021}{4}$

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2. 已知双曲线 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞0，b＞0）的两条渐近线斜率分别为 $k_{1} ， k_{2}$ ，若 $k_{1} \cdot k_{2} = - 4$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、5 B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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3. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{b^{2} + 3} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2} ， P$ 为椭圆 $C$ 的上顶点，若 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{3}$ ．则 $b =$ （）

A、3 B、5 C、7 D、9

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4. 已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ (如图)，过 $F_{2}$ 的直线交 $E$ 于 $P$ ， $Q$ 两点，且 $P F_{1} ⊥ x$ 轴， $| P F_{2} | = 13 | F_{2} Q |$ ，则 $E$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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5. 已知F是抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点，M，N是该抛物线上两点， $| M F | + | N F | = 6$ ，则 $M N$ 的中点到准线的距离为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、2 C、3 D、4

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6. 已知是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右焦点， $P$ 是右支上一点，且 $△ F_{1} P F_{2}$ 是 $∠ P F_{1} F_{2} = 30 °$ 的直角三角形，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ 或 $\sqrt{3} + 1$ C、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ 或 $\sqrt{3} + 1$

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7. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别是 $F_{1} ， F_{2}$ ，焦距 $| F_{1} F_{2} | = 2 \sqrt{5}$ ，过点 $T (3 \sqrt{5} ， 0)$ 的直线与椭圆交于P、Q两点，若 $\vec{T P} = 2 \vec{T Q}$ ，且 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，则椭圆C的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{7} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{6} + y^{2} = 1$

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8. 抛物线 $E$ ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，E的准线l与x轴交于点A，M为E上的动点.则 $\frac{| M F |}{| M A |}$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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二、多选题

9. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，顶点为O，过点F的直线 $l$ 与抛物线交于A，B两点，A在第一象限，若 $| A F | = 3 | F B |$ ，则下列结论正确的是（）

A、直线 $l$ 的斜率为 $\sqrt{3}$ B、线段AB的长度为 $\frac{16}{3}$ C、 $O A ⊥ O B$ D、以AF为直径的圆与y轴相切

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10. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{2} x$ B、焦点坐标为 $(\pm 2 \sqrt{3} ， 0)$ C、顶点坐标为 $(\pm 2 \sqrt{2} ， 0)$ D、实轴长为 $2 \sqrt{2}$

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11. 已知直线 $y = x$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 无公共点，则双曲线离心率可能为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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12. 已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是(-5，0)，(5，0)，且AC，BC所在直线的斜率之积等于m(m≠0)且斜率之差等于n，则正确的是（）

A、当m>0时，点C的轨迹是双曲线. B、当m=-1时，点C在圆x²+y²=25上运动 C、当m<-1时，点C所在的椭圆的离心率随着m的增大而增大 D、无论n如何变化，点C的运动轨迹是轴对称图形

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三、填空题

13. 若双曲线C经过点(2，2)，且与双曲线 $\frac{y^{2}}{4} - x^{2} = 1$ 具有相同渐近线，则双曲线C的标准方程为．

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14. 已知抛物线 $E ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ， $O$ 为坐标原点，点 $A$ 在 $E$ 上，且 $| A F | = 2 | O F |$ ，若 $| O A | = \sqrt{10}$ ，则 $p =$ .

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15. 已知 $A$ ， $B$ 是椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{m^{2}} = 1 (m > 0)$ 的长轴的两个端点，若 $C$ 上存在点 $M$ 满足 $∠ A M B = 150 °$ ，则 $m$ 的取值范围是.

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16. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ ，过点 $N (2 ， 0)$ 的直线交抛物线于 $A$ ， $B$ 两点， $\frac{| A N |}{| B N |} = 2$ ，则线段 $A B$ 长为．

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四、解答题

17. 求下列各曲线的标准方程

(1)、实轴长为12，离心率为 $\frac{2}{3}$ ，焦点在x轴上的椭圆方程；

(2)、抛物线的焦点是双曲线 $16 x^{2} - 9 y^{2} = 144$ 的左顶点.求抛物线方程.

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18. 已知双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点与双曲线的一个焦点相同，点 $P (x_{0}, y_{0})$ 为抛物线上一点.

(1)、求双曲线的焦点坐标；

(2)、若点 $P$ 到抛物线的焦点的距离是5，求 $x_{0}$ 的值.

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19. 已知抛物线 $y^{2} = 2 x$ 的焦点是 $F$ ，点 $P$ 是抛物线上的动点，点 $A (3, 2)$ ．

(1)、求 $| P A | + | P F |$ 的最小值，并求出取最小值时点 $P$ 的坐标；

(2)、求点 $P$ 到点 $B (\frac{1}{2}, 2)$ 的距离与到直线 $x = - \frac{1}{2}$ 的距离之和的最小值．

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20. 已知抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $(m ， 1)$ 在抛物线 $C$ 上，该点到原点的距离与到 $C$ 的准线的距离相等．

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、过焦点 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，且与以焦点 $F$ 为圆心2为半径的圆交于 $M$ ， $N$ 两点，点 $B$ ， $N$ 在 $y$ 轴右侧．
①证明：当直线 $l$ 与 $x$ 轴不平行时， $| A M | \neq | B N |$

②过点 $A$ ， $B$ 分别作抛物线 $C$ 的切线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 相交于点 $D$ ，求 $△ D A M$ 与 $△ D B N$ 的面积之积的取值范围．

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $(\frac{3}{2} ， \frac{\sqrt{15}}{2})$ ，且离心率为 $\frac{2}{3}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程.

(2)、设椭圆 $C$ 的左､右顶点分别为 $A ， B$ ，点 $P$ 在椭圆 $C$ 外且位于第一象限，直线 $P A$ 和 $P B$ 分别交椭圆 $C$ 于另外两点 $M$ 和 $N (M ， N$ 在 $x$ 轴的异侧 $) .$ 若 $∠ M B N > 90^{\circ}$ ，求点 $P$ 的横坐标的取值范围.

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22. 如图，已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 与抛物线 $C_{2} ： y^{2} = 4 x$ 共焦点 $F$ ，且椭圆的离心率为 $\frac{1}{2}$ .

（Ⅰ）求椭圆 $C_{1}$ 的方程；

（Ⅱ）若点 $P$ 在射线 $x = 4 (y \geq 2)$ 上运动，点 $A$ ， $B$ 为椭圆 $C_{1}$ 上的两个动点，满足 $A B // O P$ ，且 $Q$ 为 $A B$ 的中点，连接 $P F$ 交抛物线 $C_{2}$ 于 $G$ 、 $H$ 两点，连接 $O Q$ 交椭圆 $C_{1}$ 与 $M$ 、 $N$ 两点，求四边形 $M G N H$ 面积的取值范围.

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