重庆市2020-2021学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-09-11 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {0 ， 1 ， 2}$ ，则 $A$ 的子集个数为（）

A、6 B、7 C、8 D、16

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2. 已知 $f (x)$ 是偶函数， $g (x)$ 是奇函数，且 $f (x) + g (x) = {(x - 1)}^{2}$ ，则 $f (- 1) =$ （）

A、2 B、-2 C、1 D、-1

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3. $f (x) = a x^{2} + b x - 4 a$ 是偶函数，其定义域为 $[a - 1 ， - 2 a]$ ，对实数 $m$ 满足 $f (x) \leq {(m + 1)}^{2}$ 恒成立，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 3] \cup [1 ， + \infty)$ B、 $[- 3 ， 1]$ C、 $(- \infty ， - 1] \cup [3 ， + \infty)$ D、 $[- 1 ， 3]$

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4. 若 $a ， b$ ， $c \in R$ ， $a > b$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 $a^{2} > b^{2}$ C、 $a | c | > b | c |$ D、 $a (c^{2} + 2) > b (c^{2} + 2)$

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5. 已知函数 $f (\sqrt{x} + 2) = x + 4 \sqrt{x} + 5$ ，则 $f (x)$ 的解析式为（）

A、 $f (x) = x^{2} + 1$ B、 $f (x) = x^{2} + 1$ $(x \geq 2)$ C、 $f (x) = x^{2}$ D、 $f (x) = x^{2}$ $(x \geq 2)$

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6. 已知 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 x - 3$ ，则不等式 $f (x + 2) < 0$ 的解集是（）

A、 $(- 5 ， - 2) \cup (- 2 ， 1)$ B、 $(- \infty ， - 5) \cup (- 2 ， 1)$ C、 $(- 5 ， - 2) \cup (1 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 1) \cup (2 ， 5)$

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7. 若函数 $f (x) = \frac{2 x - 3}{\sqrt{a x^{2} + a x + 1}}$ 的定义域为 $R$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， 4)$ B、 $[0 ， 2)$ C、 $[0 ， 4)$ D、 $(2 ， 4]$

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8. 设函数 $f (x) = {\begin{matrix} | x^{2} - x - 2 | ， x \geq a \\ a x - 6 ， x < a \end{matrix}$ 是定义在 $R$ 上的增函数，则实数 $a$ 取值范围（）

A、 $[2 ， + \infty)$ B、 $[0 ， 3]$ C、 $[2 ， 3]$ D、 $[2 ， 4]$

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二、多选题

9. 若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + b = 2$ ，则下列不等式恒成立的是（）

A、 $\sqrt{a b} \geq 1$ B、 $\frac{1}{a b} \geq 1$ C、 $a^{2} + b^{2} \geq 2$ D、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 2$

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10. 给出下列命题，其中是错误命题的是（）

A、若函数 $f (x)$ 的定义域为[0，2]，则函数 $f (2 x)$ 的定义域为[0，4]. B、函数 $f (x) = \frac{1}{x}$ 的单调递减区间是 $(- \infty ， 0) \cup (0 ， + \infty)$ C、若定义在R上的函数 $f (x)$ 在区间 $(- \infty ， 0]$ 上是单调增函数，在区间 $(0 ， + \infty)$ 上也是单调增函数，则 $f (x)$ 在R上是单调增函数. D、 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 是 $f (x)$ 在定义域内的任意两个值，且 $x_{1}$ < $x_{2}$ ，若 $f (x_{1}) > f (x_{2})$ ，则 $f (x)$ 减函数.

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11. 若 $a$ ， $b$ 为正数，则（）

A、 $\frac{2 a b}{a + b} \geq \sqrt{a b}$ B、当 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 2$ 时， $a + b \geq 2$ C、当 $a + b = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 时， $a + b \geq 2$ D、当 $a + b = 1$ 时， $\frac{a^{2}}{1 + a} + \frac{b^{2}}{1 + b} \geq \frac{1}{3}$

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12. 已知连续函数f(x)对任意实数x恒有f（x＋y）＝f(x)＋f（y），当x＞0时，f(x)＜0，f（1）＝－2，则以下说法中正确的是（）

A、f（0）＝0 B、f(x)是R上的奇函数 C、f(x)在[－3，3]上的最大值是6 D、不等式 $f (3 x^{2}) - 2 f (x) < f (3 x) + 4$ 的解集为 ${x ∣ \frac{2}{3} < x < 1}$

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三、填空题

13. 函数 $y = \sqrt{- x^{2} + 4 x + 5}$ 的单调递减区间为.

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14. 奇函数f(x)在 $(0 ， + \infty)$ 内单调递增且f（1）＝0，则不等式 $\frac{f (x)}{x - 1} > 0$ 的解集为．

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15. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0 ， + \infty)$ ，则函数 $y = \frac{f (x + 1)}{\sqrt{- x^{2} - 3 x + 4}}$ 的定义域是．

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16. 定义：如果函数 $y = f (x)$ 在区间 $[a ， b]$ 上存在 $x_{0} (a < x_{0} < b)$ ，满足 $f (x_{0}) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}$ ，则称 $x_{0}$ 是函数 $y = f (x)$ 在区间 $[a ， b]$ 上的一个均值点．已知函数 $f (x) = - x^{2} + m x + 1$ 在区间 $[- 1 ， 1]$ 上存在均值点，则实数 $m$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 4 x + 3 \leq 0} ， B = {x | \frac{x - 2}{x + 3} > 0}$

(1)、分别求 $A \cap B$ ， $（ ∁_{R} A \cup ∁_{R} B ）$ ；

(2)、若集合 $C = {x | 1 < x < a} ， A \cap C = C$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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18. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，已知当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = x^{2} + 4 x + 3$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、画出函数 $f (x)$ 的图象，并写出函数 f ( x ) 的单调递增区间；

(3)、求 $f (x)$ 在区间 $[- 1 ， 2]$ 上的值域.

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19. 若二次函数 $f (x)$ 满足 $f (\frac{1}{2} + x) = f (\frac{1}{2} - x) ， (x \in R)$ ，且 $f (0) = 1 ， f (- 1) = 3$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - a x ， (a \in R)$ 在 $x \in (- \infty ， \frac{3}{2}]$ 上递减， $[\frac{3}{2} ， + \infty)$ 上递增，求 $a$ 的值及当 $x \in [- 1 ， 1]$ 时函数 $g (x)$ 的值域.

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + a x + 4}{x}$ 为奇函数．

(1)、若函数f（x）在区间 $[\frac{m}{2} ， m] (m > 0)$ 上为单调函数，求m的取值范围；

(2)、若函数f（x）在区间[1，k]上的最小值为3k，求k的值．

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21. 已知二次函数 $f (x) = a x^{2} + x (a \neq 0)$ .

(1)、当 $a < 0$ 时，若函数 $y = \sqrt{f (x)}$ 定义域与值域完全相同，求 $a$ 的值；

(2)、当 $a > 0$ 时，求函数 $g (x) = f (x) - 2 x - | x - a |$ 的最小值 $h (a)$ .

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22. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足：①对一切 $x \in R$ 恒有 $f (x) \neq 0$ ；②对一切 $x ， y \in R$ 恒有 $f (x + y) = f (x) \cdot f (y)$ ；③当 $x > 0$ 时， $f (x) > 1$ ，且 $f (1) = 2$ ；④若对一切 $x \in [a ， a + 1]$ (其中 $a < 0$ )，不等式 $f (x^{2} + a^{2}) \geq 4 f (2 | x | - 2)$ 恒成立.

(1)、求 $f (2) ， f (3)$ 的值；

(2)、证明：函数 $f (x)$ 是 $R$ 上的递增函数；

(3)、求实数 $a$ 的取值范围.

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