浙江省湖州市三贤联盟2020-2021学年高一上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2021-09-11 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {1 ， 2}$ ， $B = {2 ， 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、2 B、 ${2}$ C、 ${1 ， 2 ， 3}$ D、 ${1 ， 3}$

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2. 已知幂函数 $y = f (x)$ 的图象过点 $(\frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，则 $f (12)$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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3. 函数 $f (x) = \sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 2}$ 的定义域为（）

A、 $[- 2 ， 1]$ B、 $[- 1 ， 2]$ C、 $(- 2 ， 1)$ D、 $(- 1 ， 2)$

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4. 已知实数a ， b满足： $a + b < 0$ ， $a > 0$ ，则 $a ， b ， - a ， - b$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < - a < - b$ B、 $- a < - b < a < b$ C、 $b < - a < a < - b$ D、 $- a < b < - b < a$

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5. 已知函数 $f (x) = x^{2} + b x + c ， f (1) = 0 ， f (3) = 0$ ，则 $f (- 1) =$ （）

A、2 B、-8 C、8 D、0

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6. 三贤中学校园内有一矩形草坪，其长为m ，宽为 $n (m > n)$ ，其面积为 $S_{1}$ ，现准备在该校园内再修建一座与此草坪长相等的正方形花园，其面积为 $S_{2}$ ，设集合 $A = {x | 0 < x \leq S_{1}}$ ， $B = {x | 0 < x \leq S_{2}}$ ，则“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 已知函数 $f (x) = x + \frac{4}{x} (x > 0)$ ，当 $x = a$ 时， $f (x)$ 取得最小值b ，则函数 $g (t) = b^{- t} - a^{- t}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{5}{4}$

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8. 已知 $f (x)$ 为偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = a | x - 1 | - 2 a (a > 0)$ ，若直线 $y = - 2$ 与函数 $y = f (x)$ 图像恰有4个交点，则a的取值范围为（）

A、 $(4 ， + \infty)$ B、 $(2 ， 4)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(1 ， 2)$

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二、多选题

9. 下列函数中与函数 $y = \frac{1}{x}$ 是同一个函数的是（）

A、 $y = \frac{1}{\sqrt{x^{2}}}$ B、 $y = \frac{x^{0}}{x}$ C、 $y = \frac{x}{x^{2}}$ D、 $y = \frac{1}{t}$

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10. 下列命题是真命题的是（）

A、 $\forall x \in R ， | x | \geq x$ B、 $\exists x \in R ， | x | \leq - x$ C、 $\forall x \in R ， x^{2} - 2 x - 3 > 0$ D、 $\exists x \in R ， x^{2} - 2 x - 3 > 0$

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11. 已知正数a、b满足 $a + b = 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a b \geq \frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 4$ C、 $a^{2} + b^{2} \geq \frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{a + 1} + \frac{1}{b + 1} \geq \frac{4}{3}$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (a^{2} - a) e^{a x} ， x < 0 \\ g (x) ， x \geq 0 \end{array}$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $a = 2$ 时， $f (x)$ 在 $[- 2 ， - 1]$ 上的值域为 $[\frac{4}{e^{4}} ， \frac{2}{e^{2}}]$ B、若 $f (x)$ 为R上偶函数，则 $g (x) = (a - a^{2}) e^{- a x}$ C、 $f (x)$ 为 $(- \infty ， 0)$ 上单调递增函数的充要条件为 $a > 1$ D、当 $g (x) = a x^{2} + 1$ 时， $f (x)$ 是R上单调函数，则 $a \leq \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ 或 $1 < a \leq \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

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三、填空题

13. 已知集合 $A = {1 ， 0 ， 4} ， B = {0 ， x}$ ，且 $B \subseteq A$ ，则 $x =$ .

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14. 全民拒酒驾，平安你我他.在我国认定酒后驾车标准的起点是：驾驶人每100毫升血液中的酒精含量不得超过20毫克.一名驾驶员喝酒后，血液中酒精含量迅速上升到6.4 $mg/ml$ ，假定在停止喝酒后血液中的酒精含量以每小时50%的速度下降，为了保证交通安全，该驾驶员喝酒后至少过个小时才可驾车？

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15. 设 $x > 0 ， y > 0$ ，满足 $x + y = 1$ ，若不等式 $\frac{4}{x} + \frac{1}{y} \geq m^{2} - 8 m$ 恒成立，则实数 $m$ 的范围是.

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16. 用 $max {f (x)}$ 表示 $f (x)$ 的最大值，用 $min {f (x) ， g (x)}$ 表示 $f (x) ， g (x)$ 中较小者，则当 $x \geq 0$ 时， $max {min {\sqrt{x} ， - x^{2} + 6 x - 6}} =$ .

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四、解答题

17.

(1)、求值： $8^{0.25} \times \sqrt[4]{2} + {(\frac{1}{16})}^{- \frac{1}{2}}$ ；

(2)、已知 $5^{m} = 2$ ， $5^{n} = 3$ ，求 $5^{4 m - 3 n}$ 的值.

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18. 已知集合 $A = {x ∣ - 2 \leq x \leq 4} ， B = {x ∣ x^{2} \leq 9} ， C = {x ∣ 2 x + m < 0}$ .

(1)、求 $A \cup B ， (∁_{R} A) \cap B$ ；

(2)、若B⫋C，求实数 $m$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - x - 6$ ，若方程 $f (x) = 0$ 的两个实数根分别为 $- \frac{3}{2}$ 和 $b$ .

(1)、求实数 $a$ ､ $b$ 的值；

(2)、试用定义证明函数 $g (x) = \frac{f (x)}{x}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调性.

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{x^{2}} + a x (x \neq 0) ， f (- 1) = f (\frac{1}{2})$ .

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、若不等式 $\frac{1}{2 x + f (x)} \leq (m - 2) x - m - 1$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上有解，求实数 $m$ 的范围.

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21. 随着社会发展，垃圾分类对改善和保护人类生活环境意义重大.某可回收废品处理厂响应国家环保部门的政策，引进新设备，废品处理能力大大提高.已知该厂每月的废品月处理成本 $y$ (元)与月处理量 $x$ (千吨)之间近似地的构成二次函数关系，经调研发现，该厂每月处理量 $x$ 最少100千吨，最多500千吨.当月处理量为200千吨时，月处理成本最低，为50000元，且在月处理量最少的情况下，耗费月处理成本60000元.

(1)、求月处理成本 $y$ (元)与月处理量 $x$ (千吨)之间函数关系式；

(2)、该厂每月废品处理量为多少千吨时，才能使每千吨的处理成本最低？

(3)、若该厂每处理一千吨废品获利400元，则每月能否获利？若获利，求出最大利润.

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22. 已知函数 $f (x) = 2^{x} + \frac{a}{2^{x}} (a \in R)$ ， $g (x) = - x^{2} + 2 x + m$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 为偶函数，求实数 $a$ 的值；

(2)、设函数 $F (x) = f (x) - 2^{x - 2} - \frac{1}{2^{x - 2}}$ ，若 $x_{1} ， x_{2} \in [1 ， 2]$ ，对任意的 $x_{1}$ ，总存在 $x_{2}$ ，使得 $g (x_{1}) = F (x_{2})$ ，求 $m$ 的取值范围.

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