天津市河西区2020-2021学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-09-11 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U ＝ {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7}$ ， $A ＝ {2 ， 4 ， 5}$ ， $B ＝ {1 ， 3 ， 5 ， 7}$ ，则 $A \cap (C_{U} B)$ ＝（）

A、 ${5}$ B、 ${2 ， 4}$ C、 ${2 ， 4 ， 5 ， 6}$ D、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 7}$

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2. 设 $p$ ：“两个三角形相似”， $q$ ：“两个三角形的三边成比例”，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 命题 $p$ ：“ $\exists n \in N$ ，则 $n^{2} > 2^{n}$ ”的否定是（）

A、 $\forall n \in N$ ， $n^{2} > 2^{n}$ B、 $\exists n \in N$ ， $n^{2} \leq 2^{n}$ C、 $\forall n \in N$ ， $n^{2} \leq 2^{n}$ D、 $\forall n \in N$ ， $n^{2} < 2^{n}$

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4. 下列命题为真命题的是（）

A、若 $a > b > 0$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a > b > 0$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ C、若 $a < b < 0$ ，则 $a^{2} < a b < b^{2}$ D、若 $a < b < 0$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$

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5. 一元二次不等式 $﹣ x^{2} + 2 x ﹣ 3 > 0$ 的解集是（）

A、 $\emptyset$ B、 $(- 3 ， 1)$ C、 $(- 1 ， 3)$ D、 $(- 3 ， - 1)$

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6. 下列函数与函数 $y = x$ 是同一个函数的是（）

A、 $y = {(\sqrt{x})}^{2}$ B、 $u = \sqrt[3]{v^{3}}$ C、 $s = \sqrt{t^{2}}$ D、 $m = \frac{n^{2}}{n}$

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7. 函数 $f (x) = | x - 3 | - | x + 1 |$ 的最大值和最小值分别是（）

A、4和0 B、4和﹣4 C、0和﹣4 D、既无最大值，也无最小值

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8. 已知奇函数 $y = f (x)$ 在 $(- \infty ， 0)$ 为减函数，且 $f (2) = 0$ ，则不等式 $(x - 1) f (x - 1) > 0$ 的解集为（）

A、 ${x | - 3 < x < - 1}$ B、 ${x | - 3 < x < 1$ 或 $x > 2}$ C、 ${x | - 3 < x < 0$ 或 $x > 3}$ D、 ${x | - 1 < x < 1$ 或 $1 < x < 3}$

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9. 已知函数 $f (x)$ 是 $R$ 上的增函数， $A (0 ， - 1)$ ， $B (3 ， 1)$ 是其图象上的两点，那么 $| f (x + 1) | < 1$ 的解集的补集是（）

A、 $(- 1 ， 2)$ B、 $(1 ， 4)$ C、 $(- \infty ， - 1) \cup [4 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 1] \cup [2 ， + \infty)$

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二、填空题

10. 已知集合 $A = {x | 3 \leq x < 7}$ ， $B = {x | 2 < x < 10}$ ，则 $∁_{A} (A \cup B)$ ＝．

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11. 已知幂函数 $y = f (x)$ 的图象过点 $(2, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，则 $f (x) =$ ．

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12. 函数 $f (x) = \frac{\sqrt{x - 4}}{| x | - 5}$ 的定义域是．

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13. 已知 $x > 0$ ，则函数 $y = 2 - 3 x - \frac{4}{x}$ 的最大值是．

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14. 若不等式 $a x^{2} + 2 x + a < 0$ 对任意 $x \in R$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是.

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15. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $[- 2 b ， b + 1]$ 上的偶函数，且在 $[- 2 b ， 0]$ 上单调递增，则 $f (x - 1) \leq f (2 x)$ 的解集为．

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三、解答题

16. 已知 $a ， b > 0$ ，且 $a b = a + b + 3$ ．

(1)、求 $a b$ 的取值范围；

(2)、求 $4 a + b$ 的最小值，并求取得最小值时 $a ， b$ 的值．

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17. 已知函数 $f (x) = 4 x^{2} - k x - 8$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 满足 $f (x - \frac{1}{2}) = f (- x - \frac{1}{2})$ ，求 $k$ 的值；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $[5 ， 20]$ 上具有单调性，求实数k的取值范围．

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18. 某地区上年度电价为0.8元/（ $kW \cdot h$ ），年用电量为 $a kW \cdot h$ ，本年度计划将电价下降到区间 $[0.55, 0.75]$ （单位：元/（ $kW \cdot h$ ）内，而用户期望电价为0.4元/（ $kW \cdot h$ ）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为 $k$ ）.该地区的电力成本价始终为0.3元/（ $kW \cdot h$ ）.

(1)、写出本年度电价下调后电力部门的利润 $y$ （单位：元）关于实际电价 $x$ （单位，元/ $(kW \cdot h)$ ）的函数解析式；

(2)、设 $k = 0.2 a$ ，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门本年度的利润比上年至少增长20%？

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