四川省蓉城名校联盟2020-2021学年高一上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2021-09-11 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ， $B = {x \in Z | - 1 \leq x \leq 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ B、 ${0 ， 1}$ C、 ${- 1 ， 1}$ D、 ${0 ， 1 ， 2}$

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2. 下列函数与 $f (x) = x$ 是同一函数的是（）

A、 $f (x) = \frac{x^{2}}{x}$ B、 $f (x) = \sqrt{x^{2}}$ C、 $f (x) = \log_{2}^{2^{x}}$ D、 $f (x) = 2^{\log_{2}^{x}}$

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3. 下列函数在 $(0 ， + \infty)$ 上为增函数的是（）

A、 $f (x) = x^{2}$ B、 $f (x) = \frac{2}{x}$ C、 $f (x) = \lg (x - 2)$ D、 $f (x) = - 2 x + 4$

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4. 函数 $y = \log_{a} (x - 3) + 1$ ( $a > 0$ 且 $a \neq 1$ )的图像恒过定点 $P$ ，则点 $P$ 的坐标是（）

A、 $(4 ， 1)$ B、 $(3 ， 1)$ C、 $(4 ， 0)$ D、 $(3 ， 0)$

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5. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \log_{3} x - 2 ， x > 0 ， \\ {(\frac{1}{3})}^{x} ， x \leq 0 ， \end{array}$ 则 $f (f (- 2))$ 的值为（）

A、-4 B、-2 C、0 D、2

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6. 已知函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $[1 ， + \infty)$ ，则函数 $g (x) = f (2 x - 3) + \frac{1}{\sqrt{4 - x}}$ 的定义域为（）

A、 $[- 1 ， 4]$ B、 $[- 1 ， 4)$ C、 $[2 ， 4]$ D、 $[2 ， 4)$

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7. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 a x + 8 = 0$ 的两个实根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 满足 $x_{1} > x_{2} > 2$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(2 \sqrt{2} ， 3)$ B、 $(2 ， + \infty)$ C、 $(2 \sqrt{2} ， + \infty)$ D、 $(- 2 \sqrt{2} ， 3)$

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (a - 2) x + 4 a - 6 ， x \leq 1 \\ a^{x} + 2 ， x > 1 \end{array}$ 满足对于任意的 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} \neq x_{2})$ 都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(1 ， \frac{3}{2}]$ B、 $(2 ， \frac{5}{2}]$ C、 $[\frac{3}{2} ， 2)$ D、 $(1 ， \frac{5}{2}]$

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9. 已知函数 $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 5 x - 4)$ 在区间 $[m ， m + 1]$ 上是减函数，则 $m$ 的取值范围（）

A、 $(- \infty ， \frac{3}{2}]$ B、 $[\frac{5}{2} ， + \infty)$ C、 $(1 ， \frac{3}{2}]$ D、 $[\frac{5}{2} ， 3)$

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10. 设 $f (x)$ 是定义域为R的偶函数，且在 $(0 ， + \infty)$ 单调递减，则（）

A、 $f (3^{- \frac{4}{3}}) > f (3^{- \frac{3}{4}}) > f (\log_{2} \frac{1}{3})$ B、 $f (\log_{2} \frac{1}{3}) > f (3^{- \frac{3}{4}}) > f (3^{- \frac{4}{3}})$ C、 $f (\log_{2} \frac{1}{3}) > f (3^{- \frac{4}{3}}) > f (3^{- \frac{3}{4}})$ D、 $f (3^{- \frac{3}{4}}) > f (3^{- \frac{4}{3}}) > f (\log_{2} \frac{1}{3})$

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} {(x + 1)}^{2} ， x \leq 1 \\ | x - 4 | ， x 〉 1 \end{matrix}$ ，则关于 $x$ 的方程 $f^{2} (x) - a f (x) = 0 (0 < a < 3)$ 的所有实数根的和为（）

A、3 B、6 C、9 D、12

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12. 已知不等式 $\frac{x - 2}{x - 1} \leq \frac{1}{2}$ 的解集为 $M$ ，关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} - x + 1 > 0$ 的解集为 $N$ ，且 $M \cup N \subseteq N$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0 ， + \infty)$ B、 $(\frac{1}{4} ， + \infty)$ C、 $(\frac{2}{9} ， + \infty)$ D、 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$

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二、填空题

13. 若1∈{x，x²}，则x= ．

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14. 不等式 $2^{x^{2} - 3 x} \geq {(\frac{1}{2})}^{6 - 2 x}$ 的解集为．

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15. 设偶函数 $f (x)$ 在 $(- \infty ， 0)$ 上为增函数，且 $f (3) = 0$ ，则不等式 $x \cdot f (x) < 0$ 的解集为

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16. 已知 $f (x) = \frac{2^{x} + m}{2^{x} + 1}$ ，若对 $\forall x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3} \in R$ ，总有 $f (x_{1})$ ， $f (x_{2})$ ， $f (x_{3})$ 为某个三角形的三边边长，则实数 $m$ 的取值范围是．

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三、解答题

17. 求下列各式的值：

(1)、 $\lg 25 + \frac{2}{3} \lg 8 - \log_{2} 27 \times \log_{3} 2 + 2^{\log_{2} 3}$

(2)、 ${(3 \frac{3}{8})}^{- \frac{2}{3}} + {(0.008)}^{- \frac{2}{3}} \times \frac{2 \sqrt{2}}{5} \div {(\frac{1}{50})}^{- \frac{1}{2}} - {(π - 3)}^{0}$

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18. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 5 x + 4 \leq 0}$ ， $B = {x | \frac{1}{2} \leq 2^{x} < 8}$ ，若 $R$ 为全体实数集合．

(1)、求 $A \cap (∁_{R} B)$ ；

(2)、若 $C = {x | 2 m < x \leq m + 3}$ ， $C \subseteq (A \cup B)$ ，求 $m$ 的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = x^{2} + a x + 3 - a$ ， $x \in [- 2 ， 4]$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，写出函数 $f (x)$ 的单调区间和值域；

(2)、求 $f (x)$ 的最小值 $g (a)$ 的表达式．

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20. 节约资源和保护环境是中国的基本国策．某化工企业，积极响应国家要求，探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前所排放的废气中每立方米的污染物数量为 $y_{0} = 4 mg$ ，首次改良后所排放的废气中每立方米污染物数量为 $y_{1} = 3.94 mg$ ．设第 $n$ 次改良后所排放的废气中每立方米污染物数量为 $y_{n}$ ，可由函数模型 $y_{n} = y_{0} - (y_{0} - y_{1}) \times 5^{1.5 n + b} (b \in R ， n \in N *)$ 给出，其中 $n$ 是指改良工艺的次数．

(1)、求 $b$ 的值；

(2)、依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量每立方米不能超过 $2.08 mg$ ，试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标． $($ 参考数据：取 $\lg 2 \approx 0.3$ )

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21. 若函数 $f (x) = \frac{4}{2^{x} + 1} - 2$ ．

(1)、判断函数 $f (x)$ 的单调性并且用定义法证明；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f (f (x)) + f (t - 1) < 0$ 有解，求实数 $t$ 的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{4^{x} + b}{2^{x}}$ 为奇函数．

(1)、求实数 $b$ 的值；

(2)、若对任意的 $x \in [0 ， 1]$ ，有 $f (2 x^{2} - k x - k) + \frac{3}{2} < 0$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围；

(3)、设 $g (x) = \log_{m} [4^{x} + 4^{- x} - m f (x)]$ （ $m > 0$ ，且 $m \neq 1$ ），问是否存在实数 $m$ ，使函数 $g (x)$ 在 $[1 ， \log_{2} 3]$ 上的最大值为 $0$ ？若存在，求出 $m$ 的值，若不存在，请说明理由．

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