山东省威海荣成市2020-2021学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-09-11 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设集合 $M = {x | x^{2} = - x}$ ， $N = {x | \sqrt{x} = x}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A、 ${0}$ B、 ${- 1 ， 1}$ C、 ${- 1 ， 0}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1}$

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2. 由实数 $x$ ， $- x$ ， $| x |$ ， $- \sqrt{x^{2}}$ ， $\sqrt[3]{x^{3}}$ 所组成的集合，最多含元素个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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3. 设命题 $p ： \forall n \in N$ ， $3^{n} > n^{3}$ ，则命题 $p$ 的否定为（）

A、 $\exists n \notin N$ ， $3^{n} > n^{3}$ B、 $\forall n \in N$ ， $3^{n} \leq n^{3}$ C、 $\exists n \in N$ ， $3^{n} \leq n^{3}$ D、 $\forall n \notin N$ ， $3^{n} > n^{3}$

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4. 设函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，已知 $p ： f (x)$ 为 $R$ 上的减函数， $q ： \exists x_{1} < x_{2}$ ， $f (x_{1}) > f (x_{2})$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 函数 $f (x) = \frac{9^{x} + 1}{3^{x}}$ 的图像（）

A、关于直线 $x = 1$ 对称 B、关于 $y$ 轴对称 C、关于原点对称 D、关于 $x$ 轴对称

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6. 为净化水质，向游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度 $C$ （单位： $mg / L$ ）随时间 $t$ （单位：小时）的变化关系为 $C (t) = \frac{20 t + a}{t^{2} + b}$ （ $a ， b$ 为常数， $t \geq 0$ ），当 $t = 0$ 时池水中药品的浓度为 $0 mg / L$ ，当 $t = 1$ 小时池水中药品的浓度为 $4 mg / L$ ，则池水中药品达到最大浓度需要（）

A、2小时 B、3小时 C、4小时 D、5小时

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7. 《九章算术》第九章“勾股”问题十二：今有门不知高、广，竿不知长、短.横之不出四尺，纵之不出二尺，邪之适出（邪：指门的对角线）.问门的高、广分别为（）

A、10尺，8尺 B、10尺，6尺 C、8尺，6尺 D、12尺，10尺

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8. 已知 $a = {0.5}^{0.5}$ ， $b = 2^{- 1. 5}$ ， $c = {1.5}^{0.5}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是（）

A、 $a < c < b$ B、 $a < b < c$ C、 $c < b < a$ D、 $b < a < c$

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二、多选题

9. 下列每组对象，能构成集合的是（）

A、中国各地最美的乡村 B、直角坐标系中横、纵坐标相等的点 C、一切很大的数 D、清华大学2020年入学的全体学生

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10. 下列命题为真命题的是（）

A、 $\sqrt{6} - \sqrt{5} > 2 - \sqrt{3}$ B、若 $a$ ， $b$ ， $m$ 都是正实数且 $a < b$ ，则 $\frac{b + m}{a + m} > \frac{b}{a}$ C、 $\forall x \in R$ ， $\frac{2 x}{x^{2} + 1} \leq 1$ D、若 $a$ ， $b$ 都是正实数， $a^{3} + b^{3} \geq a b^{2} + a^{2} b$

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11. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + b = 1$ ，则（）

A、 $a^{2} + b^{2} \geq \frac{1}{2}$ B、 $4 a b \geq 1$ C、 $2^{b - a} < 2$ D、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} \leq \sqrt{2}$

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12. 设函数 $f (x)$ 定义域为 $R$ ，对于给定的正数 $k$ ，定义函数 $f_{k} (x) = {\begin{array}{l} f (x) ， f (x) > k \\ k ， f (x) \leq k \end{array}$ ，若函数 $f (x) = 2^{| x |}$ ，则（）

A、 $f_{2} (- 2) = - 4$ B、 $f_{2} (x)$ 在 $(- \infty ， - 1)$ 单调递减 C、 $f_{2} (x)$ 为偶函数 D、 $f_{2} (x)$ 最大值为2

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{6 x - 8 - x^{2}}}$ 的定义域为.

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14. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x^{2} + 2 x$ ，则当 $x < 0$ 时， $f (x) =$ .

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15. 如图所示，某学校要在长为8米，宽为6米的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为 $x$ 米，中间植草坪.为了美观，要求草坪的面积大于矩形土地面积的一半，则 $x$ 的取值范围为.

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16. 函数 $y = a^{x + 2} - 2 (a > 0 ， a \neq 1)$ 的图像恒过定点 $P$ ，若 $P \in {(x ， y) | m x + n y + 1 = 0 ， m n 〉 0}$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{2}{n}$ 的最小值.

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四、解答题

17. (I)已知 $a$ ， $b$ 都是正实数，求证： $(a + \frac{1}{b}) (b + \frac{1}{a}) \geq 4$ ；
(II)求关于 $x$ 的方程 $5^{x - 1} 10^{3 x} = 8^{x}$ 的解.

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18. 已知集合 $A = {x | y = \sqrt{x^{2} - 3 x - 4}$ ，集合 $B = {x | \frac{1}{9} < 3^{x} < 1}$ .

(1)、求 $(∁_{R} A) \cap B$ ；

(2)、设集合 $C = {x | m - 1 < x < m + 1}$ ，若 $A \cup C = A$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (2 x) = 2 - x$ ， $g (x)$ 是二次函数，且满足 $g (0) = 1$ ， $g (x + 1) - g (x) = 2 x$ .

(1)、求 $f (x)$ ， $g (x)$ 的解析式；

(2)、设 $F (x) = {\begin{array}{l} f (x) ， x < 0 \\ g (x) ， x \geq 0 \end{array}$ ，求不等式 $F (x) \leq 3$ 的解集.

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20. 设 $a \in R$ ，判断“ $4^{a} - 2^{a + 2} + 4 = 0$ ”是“ $f (x) = \frac{3^{x} - a}{3^{x} + 1}$ 为奇函数”的什么条件，并说明理由.

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21. 甲、乙两位消费者同时两次购买同一种物品，分别采用两种不同的策略，甲的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；乙的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.

(1)、若两次购买这种物品的价格分别为 $6$ 元， $4$ 元，求甲两次购买这种物品平均价格和乙两次购买这种物品平均价格分别为多少；

(2)、设两次购买这种物品的价格分别为 $a$ 元， $b$ 元 $(a > 0 ， b > 0)$ ，问甲、乙谁的购物比较经济合算.

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 a x + 9$ .
(I)当 $a \leq 0$ 时，设 $g (x) = f (2^{x})$ ，证明：函数 $g (x)$ 在 $R$ 上单调递增；

(II)若 $\forall x \in [1 ， 2]$ ， $f (2^{x}) \leq 0$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(III)若函数 $f (x)$ 在 $(- 3 ， 9)$ 有两个零点，求实数 $a$ 的取值范围.

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