江西省九江市六校2020-2021学年高一上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2021-09-10 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ，集合 $B = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0 ， 1 ， 2}$ B、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 2}$

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2. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（）

A、 $y = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ 与 $y = x + 1$ B、 $y = \sqrt{x^{2}} + 2$ 与 $y = x + 2$ C、 $f (x) = \frac{1}{3} \ln x$ 与 $g (x) = 2 \ln x$ D、 $y = x$ 与 $y = \log_{a} a^{x}$ ( $a > 0$ 且 $a \neq 1$ )

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3. 函数 $y = \sqrt{x + 2} + \lg (3 - x)$ 的定义域为（）

A、 $[- 2, 3)$ B、 $(3, + \infty)$ C、 $[- 2, 3]$ D、 $(- \infty, - 2]$

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4. 设函数 $f (x) = x^{3} - {(\frac{1}{2})}^{x}$ 的零点为 $x_{0}$ ，则 $x_{0}$ 所在的区间是（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(3 ， 4)$

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5. 下列在法则 $f$ 的作用下，从集合 $A$ 到集合 $B$ 的对应中，不是映射的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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6. 设 $a = \log_{0.3} 4$ ， $b = 2^{\frac{3}{2}}$ ， $c = 3^{- \frac{4}{3}}$ ，则（）

A、 $b < a < c$ B、 $c < b < a$ C、 $c < a < b$ D、 $a < c < b$

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7. 函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 2}$ 的增区间是（）

A、 $(- \sqrt{2} ， \sqrt{2})$ B、 $(- \infty ， - \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2} ， + \infty)$ C、 $(\sqrt{2} ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - \sqrt{2})$

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{x + 2} - e^{2} (x \leq 2) \\ 3 \ln x + 3 (x > 2) \end{array}$ ，那么 $f (\ln 3)$ 的值是（）

A、0 B、1 C、 $2 e^{2}$ D、 $3 e^{2}$

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9. 函数 $f (x) = \ln | x - 2 |$ 的图像是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 x + 3$ 在 $[a ， 3]$ 上的值域为 $[2 ， 6]$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 1]$ B、 $[- 2 ， - 1]$ C、 $[- 1 ， 1]$ D、 $[- 2 ， 1]$

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11. 已知函数 $y = f (x - 1)$ 的定义域是 $[1 ， 2]$ ，则 $y = f (\frac{1}{2} x - 1)$ 的定义域为（）

A、 $[1 ， 2]$ B、 $[0 ， 1]$ C、 $[2 ， 4]$ D、 $[0 ， 3]$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (a - 2) x + 3 a + 1 ， x \leq 3 \\ 2 a^{x - 2} ， x > 3 \end{array}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ），若 $f (x)$ 有最小值，则实数 $a$ 的取值范围是

A、 $(0 ， \frac{5}{6}]$ B、 $(1 ， \frac{5}{4})$ C、 $(0 ， \frac{5}{6}] \cup (1 ， \frac{5}{4}]$ D、 $(0 ， 1) \cup [\frac{5}{4} ， + \infty)$

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二、填空题

13. 函数 $y = 2 a^{x - 1} + 3$ ( $a > 0$ 且 $a \neq 1$ )的图像必经过点.

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (3 - a) x - 5 ， x \leq 1 \\ - \frac{2 a}{x} ， x > 1 \end{array}$ 是 $R$ 上的增函数，则 $a$ 的取值范围是.

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15. 当 $0 < x \leq \frac{1}{3}$ 时， $8^{x} < \log_{a} x$ ，则 $a$ 的取值范围是.

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16. 函数 $f (x) = \log_{a - 1} (a x - 3)$ ，在区间 $(2 ， 3)$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围是.

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三、解答题

17. 计算下列各式的值：

(1)、 $8^{\frac{2}{3}} - {(\frac{1}{2})}^{- 2} + {(\frac{16}{81})}^{\frac{3}{4}} - {(π)}^{0}$ ；

(2)、 $(\log_{4} 3 + \log_{8} 3) \times \log_{3} 2 + 2^{\log_{2} 1}$ .

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18. 设全集为 $U = R$ ，集合 $A = {x | x^{2} - 3 x - 18 > 0}$ ， $B = {x | x^{2} - 12 x - 28 < 0}$ .

(1)、求 $∁_{R} (A \cap B)$ ；

(2)、已知 $C = {x | 2 a < x < a + 1}$ ，若 $B \cap C = C$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{a x}{x^{2} + 1} (a \neq 0)$ .

(1)、判断函数 $f (x)$ 在 $(- 1 ， 1)$ 上的单调性，并用单调性的定义加以证明；

(2)、若 $a = 2$ ，函数满足 $- \frac{4}{5} \leq f (x) \leq \frac{4}{5}$ ，求 $x$ 的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{2} x + 1 ， 0 < x < \frac{1}{2} \\ 2^{- 4 x} + 1 ， \frac{1}{2} \leq x < 1 \end{array}$ .

(1)、若 $f (m) = \frac{\sqrt{2}}{8} + 1$ ，求实数 $m$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的值域.

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21. 新冠肺炎疫情发生后，某公司生产 $A$ 型抗疫商品，第一个月是为国内生产，当地政府决定对该型商品免税，该型商品出厂价为每件20元，月销售量为12万件；后来国内疫情得到有效控制，从第二个月开始，该公司为国外生产该型抗疫商品，当地政府开始对该型抗疫商品征收税率为 $p %$ ( $0 < p < 100$ ，即销售1元要征收 $\frac{p}{100}$ 元)的税，于是该型抗疫商品出厂价就上升到每件 $\frac{100}{20 - 2 p}$ 元，预计月销售量将减少 $2 p$ 万件.

(1)、将第二个月政府对该商品征收的税 $y$ (万元)表示成 $p$ 的函数，并指出这个函数的定义域；

(2)、要使第二个月该公司缴纳的税额不少于1万元的前提下，又要让该公司当月获得最大销售金额， $p$ 应为多少？

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22. 已知函数 $g (x) = a x^{2} - 2 x + 1 + b$ ，函数 $g (x)$ 有两个零点分别是 $- 1$ 和 $3$ .

(1)、若存在 $x_{0} \in [1 ， 3]$ ，使不等式 $g (x_{0}) - m x_{0} \geq 0$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、记 $f (x) = g (x) - 3 k x + 2 k$ ，若方程 $f (| 2^{x} - 1 |) = 0$ 有三个不同的实数解，求实数 $k$ 的取值范围.

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