山东省济宁市太白湖新区（北湖区2020-2021学年九年级上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2021-09-10 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下图是由八个相同的小正方体组合而成的几何体，其俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 在 $Δ A B C$ 中， $∠ C = 90^{°}$ ， $\tan A = \frac{1}{3}$ ，则 $\sin B =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$

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3. 函数 $y = \frac{2}{\sqrt{3 - x}}$ 自变量的取值范围是（）

A、x≥-3 B、x<3 C、x≤-3 D、x≤3

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4. 由二次函数 $y = 2 {(x - 3)}^{2} + 1$ ，可知（）

A、其图象的开口向下 B、其图象的对称轴为直线x=-3 C、其最小值为1 D、当x<3时，y随x的增大而增大

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5. 如图，在直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点B是双曲线 $y = \frac{k}{x}$ （x>0）上的一个动点，当点B的横坐标逐渐增大时，△OAB的面积将会（）

A、逐渐增大 B、不变 C、逐渐减小 D、先增大后减小

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6. 已知直角三角形ABC中，斜边AB的长为m，∠B＝40°，则直角边BC的长是（）

A、m·sin40° B、m·cos40° C、m·tan40° D、 $\frac{m}{\tan 40^{\circ}}$

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7. 设A（﹣2，y₁），B（1，y₂），C（2，y₃）是抛物线y=﹣（x+1）²+a上的三点，则y₁ ， y₂ ， y₃的大小关系为（）

A、y₁＞y₂＞y₃ B、y₁＞y₃＞y₂ C、y₃＞y₂＞y₁ D、y₃＞y₁＞y₂

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8. 如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60 n mile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（）

A、 $30 \sqrt{3}$ n mile B、60 n mile C、120 n mile D、 $(30 + 30 \sqrt{3})$ n mile

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9. 已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+a与反比例函数y= $\frac{a + b + c}{x}$ 在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①a、b同号；②当x =1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当-1＜x＜5时，y＜0；⑤4a+2b＞m（am+b）（m≠2的实数）．其中正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

11. 将抛物线y＝x²向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为．

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12.
下面4个图是一根电线杆在一天中不同时刻的影长图，试按其一天中发生的先后顺序排列，正确的是

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13. 二次函数

y = a x^{2} + b x + c

（a≠0，a，b，c是常数）中，自变量x与函数y的对应值如下表：

x	-1	- $\frac{1}{2}$	0	$\frac{1}{2}$	1	$\frac{3}{2}$	2	$\frac{5}{2}$	3
y	-2	$- \frac{1}{4}$	1	$\frac{7}{4}$	2	$\frac{7}{4}$	1	$- \frac{1}{4}$	-2

一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ （a≠0，a，b，c是常数）的两个根 $x_{1} ， x_{2}$ 的取值范围是下列选项中的哪一个（填序号）

① $- \frac{1}{2} < x_{1} < 0 ， \frac{3}{2} < x_{2} < 2$ ② $- 1 < x_{1} < - \frac{1}{2} ， 2 < x_{2} < \frac{5}{2}$

③ $- \frac{1}{2} < x_{1} < 0 ， 2 < x_{2} < \frac{5}{2}$ ④ $- 1 < x_{1} < - \frac{1}{2} ， \frac{3}{2} < x_{2} < 2$

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14. 双曲线 $y_{1} = \frac{4}{x} ， y_{2} = \frac{k}{x}$ 在第一象限的图象如图，过y₁上的任意一点A，作x轴的平行线交y₂于B，交y轴于C，若S_△_AOB＝3，则k的值为.

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15. 规定：sin（﹣x）=﹣sinx，cos（﹣x）=cosx，sin（x+y）=sinx•cosy+cosx•siny．
据此判断下列等式成立的是（写出所有正确的序号）
①cos（﹣60°）=﹣ $\frac{1}{2}$ ；
②sin75°= $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ ；
③sin2x=2sinx•cosx；
④sin（x﹣y）=sinx•cosy﹣cosx•siny．

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三、解答题

16. 计算：（sin30°﹣1）⁰﹣ $\sqrt{2}$ sin45°+tan60°cos30°

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17. 同一时刻，两根木棒的影子如图，请画出图中另一根木棒的影子．

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18. 在一次篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮．已知球出手时离地面 $\frac{20}{9} m$ ，与篮圈中心的水平距离为 $7 m$ ，球出手后水平距离为 $4 m$ 时达到最大高度 $4 m$ ，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面 $3 m$ ．

(1)、建立如图所示的平面直角坐标系，求此抛物线的解析式；

(2)、此时球能否准确投中？

(3)、此时，对方队员乙在甲面前 $1 m$ 处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为 $3.1 m$ ，那么他能否获得成功？

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19. 自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡 $A B = 200$ 米，坡度为 $1 ： \sqrt{3}$ ；将斜坡 $A B$ 的高度 $A E$ 降低 $A C = 20$ 米后，斜坡 $A B$ 改造为斜坡 $C D$ ，其坡度为 $1 ： 4$ ．求斜坡 $C D$ 的长．（结果保留根号）

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20. 如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y= $\frac{n}{x}$ （n为常数，且n≠0）的图象在第二象限交于点C．CD⊥x轴，垂足为D，若OB=2OA=3OD=12．

(1)、求一次函数与反比例函数的解析式；

(2)、记两函数图象的另一个交点为E，求△CDE的面积；

(3)、直接写出不等式kx+b≤ $\frac{n}{x}$ 的解集．

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21. 定义：对于给定的两个函数,任取自变量x的一个值,当x<0时,它们对应的函数值互为相反数;当x⩾0时,它们对应的函数值相等,我们称这样的两个函数互为相关函数。例如：一次函数y=x−1,它们的相关函数为y= ${\begin{cases} - x + 1 (x < 0) \\ x - 1 (x ⩾ 0) \end{cases}$ .

(1)、已知点A(−5,8)在一次函数y=ax−3的相关函数的图象上，求a的值；

(2)、已知二次函数y=−x $^{2}$ +4x− $\frac{1}{2}$ .
①当点B(m, $\frac{3}{2}$ )在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；

②当−3⩽x⩽3时,求函数y=−x $^{2}$ +4x− $\frac{1}{2}$ 的相关函数的最大值和最小值.

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22. 如图抛物线过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M为（2，4）；矩形ABCD顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3.

(1)、求该抛物线所对应的函数关系式；

(2)、将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速从图示位置沿x轴正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线交点为N
① 当t= $\frac{5}{2}$ 时，判断点P是否在直线ME上，说明理由；

② 设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？说明理由．

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