山东省济宁市任城区2020-2021学年九年级上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2021-09-10 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列各点中，在反比例函数 $y = \frac{8}{x}$ 图象上的是

A、（－1，8） B、（－2，4） C、（1，7） D、（2，4）

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2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，那么sinA的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、1

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3. 已知点（－1，2）在二次函数y=ax²的图象上，那么a的值是（）

A、1 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、－ $\frac{1}{2}$

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4. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a < 0)$ 与x轴的一个交点坐标为 $(- 1 ， 0)$ ，对称轴是直线 $x = 1$ ，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（）

A、 $(\frac{7}{2} ， 0)$ B、 $(3 ， 0)$ C、 $(\frac{5}{2} ， 0)$ D、 $(2 ， 0)$

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5. 已知点（﹣2，a），（2，b），（3，c）在函数y＝ $\frac{k}{x}$ （k＞0）的图象上，则下列判断正确的是（　　）

A、a＜b＜c B、b＜a＜c C、a＜c＜b D、c＜b＜a

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6. 已知(﹣3， $y_{1}$ )，(﹣2， $y_{2}$ )，(1， $y_{3}$ )是抛物线 $y = - 3 x^{2} - 12 x + m$ 上的点，则（）

A、 $y_{3}$ $<$ $y_{2}$ $<$ $y_{1}$ B、 $y_{3}$ $<$ $y_{1}$ $<$ $y_{2}$ C、 $y_{2}$ $<$ $y_{3}$ $<$ $y_{1}$ D、 $y_{1}$ $<$ $y_{3}$ $<$ $y_{2}$

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7. 如图，在 $R t △ A C B$ 中， $∠ C = 90 ° ， s i n B = 0.5$ ，若 $A C = 6$ ，则 $B C$ 的长为（）

A、8 B、12 C、 $6 \sqrt{3}$ D、 $12 \sqrt{3}$

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8. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，矩形 $A B C D$ 的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边 $A B = a ， B C = b ， ∠ D A O = x$ ．则点C到x轴的距离等于（）

A、 $a \cos x + b \sin x$ B、 $a \cos x + b \cos x$ C、 $a \sin x + b \cos x$ D、 $a \sin x + b \sin x$

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9. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象经过 $(- 3 ， 0)$ 与 $(1 ， 0)$ 两点，关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x + c + m = 0$ $(m > 0)$ 有两个根，其中一个根是3．则关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x + c + n = 0$ $(0 < n < m)$ 有两个整数根，这两个整数根是（）

A、 $- 2$ 或0 B、 $- 4$ 或2 C、 $- 5$ 或3 D、 $- 6$ 或4

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10. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB ，连接AD ，得∠D＝15°，所以tan15° $= \frac{A C}{C D} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$ ．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（　　）

A、 $\sqrt{2} + 1$ B、 $\sqrt{2}$ ﹣1 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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二、填空题

11. 如图，在△ABC中，∠A＝90°，若AB＝8，AC＝6，则cosC的值为．

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12. 抛物线y=x²﹣2x+3的对称轴是直线．

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13. 已知∠A为锐角，且tanA＝ $\sqrt{3}$ ，则∠A的大小为.

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14. 某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶.在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶.已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为元.

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15. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝x+1和双曲线y＝﹣ $\frac{1}{x}$ ，在直线上取一点，记为A₁ ，过A₁作x轴的垂线交双曲线于点B₁ ，过B₁作y轴的垂线交直线于点A₂ ，过A₂作x轴的垂线交双曲线于点B₂ ，过B₂作y轴的垂线交直线于点A₃ ， …，依次进行下去，记点A_n的横坐标为a_n ，若a₁＝2，则a₂₀₂₁＝．

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三、解答题

16. 计算：cos²30°+sin²30°﹣tan45°．

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17. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax²+4x﹣3图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D．点B的坐标是（1，0）．

(1)、求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y＞0时x的取值范围．

(2)、平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．

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18. 在篮球比赛中，东东投出的球在点A处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部分（如图所示建立直角坐标系），抛物线顶点为点B．

(1)、求该抛物线的函数表达式；

(2)、当球运动到点C时被东东抢到，CD⊥x轴于点D，CD=2.6m．求OD的长．

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19. 如图所示，某建筑物楼顶有信号塔EF，卓玛同学为了探究信号塔EF的高度，从建筑物一层A点沿直线AD出发，到达C点时刚好能看到信号塔的最高点F，测得仰角∠ACF＝60°，AC长7米.接着卓玛再从C点出发，继续沿AD方向走了8米后到达B点，此时刚好能看到信号塔的最低点E，测得仰角∠B＝30°.（不计卓玛同学的身高）求信号塔EF的高度（结果保留根号）.

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20. 如图，在直角坐标系中，直线y₁＝ax+b与双曲线y₂＝ $\frac{k}{x}$ （k≠0）分别相交于第二、四象限内的A（m，4），B（6，n）两点，与x轴相交于C点．已知OC＝3，tan∠ACO＝ $\frac{2}{3}$ ．

(1)、求y₁ ， y₂对应的函数表达式；

(2)、求△AOB的面积；

(3)、直接写出当x＜0时，不等式ax+b＞ $\frac{k}{x}$ 的解集．

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21. 如图，已知二次函数 $y = - x^{2} + (a + 1) x - a$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点（点 $A$ 位于点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，已知 $Δ B A C$ 的面积是6．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、在抛物线上是否存在一点 $P$ ，使 $S_{Δ A B P} = S_{Δ A B C}$ ．存在请求出 $P$ 坐标，若不存在请说明理由．

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22. 抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为 $(- 1 ， 0)$ ，点C的坐标为 $(0 ， - 3)$ .点P为抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 上的一个动点.过点P作 $P D ⊥ x$ 轴于点D，交直线 $B C$ 于点E.

(1)、求b、c的值；

(2)、设点 $F$ 在抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 的对称轴上，当 $△ A C F$ 的周长最小时，直接写出点F的坐标；

(3)、在第一象限，是否存在点P，使点P到直线 $B C$ 的距离是点D到直线 $B C$ 的距离的5倍？若存在，求出点P所有的坐标；若不存在，请说明理由.

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