山东省济南市历下区2020-2021学年九年级上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2021-09-10 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列关于x的方程是一元二次方程的是（）

A、ax²＋bx＋c＝0 B、x²＋2x＝ $\frac{1}{x}$ C、（a²＋1）x²＝0 D、x²＋y²＝1

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2. 如图所示的几何体，它的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 一元二次方程x²﹣6x＝3，用配方法变形可得（）

A、（x＋3）²＝3 B、（x﹣3）²＝3 C、（x＋3）²＝12 D、（x﹣3）²＝12

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4. 在一个不透明的袋子中装有若干个红球和2个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，记录颜色后放回，共进行了200次操作，其中白球出现了51次，由此估计红球的个数为（）

A、5个 B、6个 C、7个 D、8个

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5. 如图，两条直线被第三条平行所截， $A B = 4$ ， $B C = 6$ ， $D F = 9$ ，则 $D E$ 的长为（）

A、 $4.2$ B、 $3.2$ C、 $4$ D、 $3.6$

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6. 线段AB的长是10，点C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC的长为（）

A、5﹣ $\sqrt{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ C、15﹣3 $\sqrt{5}$ D、5 $\sqrt{5}$ ﹣5

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7. 函数 $y = k x + k$ 与 $y = \frac{k}{x}$ （ $k \neq 0$ ）在同一平面直角坐标系的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 如图所示，在一边靠墙（墙足够长）的空地上，修建一个面积为375平方米的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为55米的栅栏围成，若设栅栏AB的长为x米，则下列各方程中，正确的是（）

A、 $\frac{1}{2}$ x（55﹣x）＝375 B、 $\frac{1}{2}$ x（55﹣2x）＝375 C、x（55﹣2x）＝375 D、x（55﹣x）＝375

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9. 如图，在△ABC中，点D、E分别是AB和AC边上的点，DE∥BC，AD＝3BD，四边形BDEC的面积是28，则△ABC的面积为（）

A、61 B、62 C、63 D、64

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10. 已知点A（﹣1，y₁）、B（﹣2，y₂）、C（3，y₃）都在反比例函数y＝ $\frac{1}{x}$ 的图象上，则y₁、y₂、y₃的关系是（）

A、y₂＞y₁＞y₃ B、y₂＞y₃＞y₁ C、y₃＞y₁＞y₂ D、y₃＞y₂＞y₁

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11. 如图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE的距离为1.6米，车头FACD近似看成一个矩形，且满足3FD＝2FA，若盲区EB的长度是6米，则车宽FA的长度为（）米．

A、 $\frac{11}{7}$ B、 $\frac{12}{7}$ C、 $\frac{13}{7}$ D、2

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12. 如图，矩形ABCD中，∠BEF＝90°，点E是AD中点， $\frac{E F}{B E}$ ＝ $\frac{2}{3}$ ，则 $\frac{F C}{B C}$ 的值为（）

A、 $\frac{5}{13}$ B、 $\frac{5}{12}$ C、 $\frac{6}{13}$ D、 $\frac{1}{2}$

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二、填空题

13. 若 $\frac{x}{y}$ = $\frac{2}{5}$ ，则 $\frac{x + y}{y}$ = ．

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14. 关于x的方程x²＋4x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．

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15. 如图，△OAB和△OCD位似，位似中心是原点O，B点坐标是（6，2），△OAB和△OCD的相似比为2：1，则点D的坐标为．

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16. 如图，小明用相似图形的知识测量旗杆高度，已知小明的眼睛离地面1.5米，他将3米长的标杆竖直放置在身前3米处，此时小明的眼睛、标杆的顶端、旗杆的顶端在一条直线上，通过计算测得旗杆高度为15米，则旗杆和标杆之间距离CE长米．

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17. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，点E是线段AC上的动点，BC＝4，AB＝8，当△ABC和△AED相似时，AE的长为．

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18. 一次函数y＝kx＋2的图象与反比例函数y＝ $- \frac{k}{x}$ 的图象交于点A（1，a），点O为坐标原点，射线OA交反比例函数y＝ $\frac{m}{x}$ 的图象于点B，若 $\frac{O A}{O B} = \frac{1}{2}$ ，则m的值为．

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三、解答题

19. 解方程：

(1)、 $x^{2}$ ﹣4x﹣3＝0；

(2)、2x（x﹣1）＝x﹣1

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20. 如图，已知 $△ A B C ∽ △ A C D$ ， $A C ＝ 6$ ， $A D ＝ 4$ ， $C D ＝ 2 A D$ ，求BD和BC的长．

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21. 2020年10月8日，济南轨道交通2号线地质条件最为复杂、盾构施工难度最大的宝长区间顺利贯通．至此，2号线全部38个单线盾构区间全部贯通．

(1)、一名乘客通过此地铁闸口时，选择A闸口通过的概率为；

(2)、当两名乘客通过此地铁闸口时，请用树状图或列表法求两名乘客选择不同闸口通过的概率．

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22. 2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．世界卫生组织提出：如果1人传播10人以上而且被传染的人已经确定为新冠肺炎，那么这个传播者就可以称为”超级传播者”．如果某地区有1人不幸成为新冠肺炎病毒的携带者，假设一个病毒携带者每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有81人成为新冠肺炎病毒的携带者．

(1)、请判断最初的这名病毒携带者是”超级传播者”吗？求他每轮传染的人数；

(2)、若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，新冠肺炎病毒的携带者共有多少人？

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23. 如图，矩形ABCD中AB＝2，AD＝4，动点F在线段CD上运动（不与端点重合），过点D作AF的垂线，交线段BC于点E．

(1)、证明：△ADF∽△DCE；

(2)、当CF＝1时，求EC的长．

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24. 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如x²＝4和（x﹣2）（x＋3）＝0有且只有一个相同的实数根x＝2，所以这两个方程为“同伴方程”．

(1)、根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有；（只填写序号即可）
①（x﹣1）²＝9；②x²＋4x＋4＝0；③（x＋4）（x﹣2）＝0

(2)、关于x的一元二次方程x²﹣2x＝0与x²＋3x＋m﹣1＝0为“同伴方程”，求m的值；

(3)、若关于x的一元二次方程ax²＋bx＋c＝0（a≠0）同时满足a＋b＋c＝0和a﹣b＋c＝0，且与（x＋2）（x﹣n）＝0互为“同伴方程”，求n的值．

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25. 如图，在平面直角坐标系中，点A（2，m）在正比例函数y＝ $\frac{3}{2}$ x（x＞0）的图象上，反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ （x＞0）的图象经过点A，点P是x轴正半轴上一动点，过点P作x轴的垂线，与正比例函数y＝ $\frac{3}{2}$ x（x＞0）的图象交于点C，点B是线段CP与反比例函数的交点，连接AP、AB．

(1)、求该反比例函数的表达式；

(2)、观察图象，请直接写出当x＞0时， $\frac{3}{2}$ x≤ $\frac{k}{x}$ 的解集；

(3)、若S_△ABP＝1，求B点坐标；

(4)、点Q是A点右侧双曲线上一动点，是否存在△APQ为以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．

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26. 在数学课堂上，小明同学将两个完全相同的直角三角形重合在一起．如图1所示，∠C＝90°，点A与点D重合，点B与点E重合，CA＝kCB．

(1)、操作发现：当k＝1时，将△DCE绕点C顺时针旋转90°，发现此情况下线段BE和线段AD存在特殊的数量和位置关系：数量关系：；位置关系：；（请直接写出答案）

(2)、问题产生：当k＝1时，如图2，将△DCE绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），连接BE、AD，在此情况下（1）中的结论是否还成立呢？请给予你的解释或证明；

(3)、问题延伸：将（2）中的条件“k＝1”调整为“k＝2”，如图3，其它条件不变：
①求此条件下线段BE和线段AD数量关系和位置关系；

②在旋转过程中，当E点恰好落在线段AB上时，若BC＝1，求点C到直线AD的距离．

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