高中数学人教A版（2019）选择性必修一3.2 双曲线同步练习

试卷更新日期：2021-09-10 类型：同步测试

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一、单选题

1. 双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的顶点焦点到C的一条渐近线的距离分别为 $\sqrt{3}$ 和 $2 \sqrt{3}$ ，则C的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{12} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12} = 1$

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2. 双曲线 $y^{2} - x^{2} = 1$ 的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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3. 双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的渐近线方程为（）

A、 $\sqrt{2} x \pm y = 0$ B、 $x \pm \sqrt{2} y = 0$ C、 $x \pm 2 y = 0$ D、 $2 x \pm y = 0$

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4. 若双曲线C的中心为坐标原点，其焦点在y轴上，离心率为2，则该双曲线C的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \sqrt{3} x$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ C、 $y = \pm 4 x$ D、 $y = \pm \frac{1}{4} x$

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5. 双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ， $P$ 是双曲线 $C$ 上一点， $P F_{2} ⊥ x$ 轴， $\tan ∠ P F_{1} F_{2} = \frac{3}{4}$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2$

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6. 与双曲线 $x^{2} - 4 y^{2} = 4$ 有共同的渐近线，且经过点 $(2, \sqrt{5})$ 的双曲线方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ B、 $\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{16} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{y^{2}}{16} - \frac{x^{2}}{4} = 1$

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7. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左右焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线交双曲线于M ， N两点 $(M$ 在第一象限），若 $△ M F_{1} F_{2}$ 与 $△ N F_{1} F_{2}$ 的内切圆半径之比为3：2，则直线 $M N$ 的斜率为（　　）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $2 \sqrt{6}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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8. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左､右焦点，过 $F_{1}$ 作 $y = - \frac{b}{a} x$ 的垂线分别交双曲线的左､右两支于 $B ， C$ 两点(如图).若 $∠ C B F_{2} = ∠ C F_{2} B$ ，则双曲线的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \sqrt{3} x$ B、 $y = \pm \sqrt{2} x$ C、 $y = \pm (\sqrt{3} + 1) x$ D、 $y = \pm (\sqrt{3} - 1) x$

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二、多选题

9. 某双曲线两条渐近线的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，则该双曲线的离心率为（）．

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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10. 若 $P$ 是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{m} = 1$ 上一点， $C$ 的一个焦点坐标为 $F (4 ， 0)$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $m = \sqrt{5}$ B、渐近线方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{7}}{3} x$ C、 $| P F |$ 的最小值是 $1$ D、焦点到渐近线的距离是 $\sqrt{7}$

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11. 已知双曲线 $W ： \frac{x^{2}}{2 + m} - \frac{y^{2}}{m + 1} = 1$ ，（）

A、 $m \in (- 2 ， - 1)$ B、若W的顶点坐标为 $(0 ， \pm \sqrt{2})$ ，则 $m = - 3$ C、W的焦点坐标为 $(\pm 1 ， 0)$ D、若 $m = 0$ ，则W的渐近线方程为 $x \pm \sqrt{2} y = 0$

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12. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{m} - \frac{y^{2}}{m + 7} = 1 (m \in R)$ 的一条渐近线方程为 $4 x - 3 y = 0$ ，则（）

A、 $(\sqrt{7}, 0)$ 为 $C$ 的一个焦点 B、双曲线 $C$ 的离心率为 $\frac{5}{3}$ C、过点 $(5, 0)$ 作直线与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，则满足 $| A B | = 15$ 的直线有且只有两条 D、设 $A, B, M$ 为 $C$ 上三点且 $A, B$ 关于原点对称，则 $M A, M B$ 斜率存在时其乘积为 $\frac{16}{9}$

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三、填空题

13. 已知双曲线C的渐近线方程为 $y = \pm 2 x$ ，写出双曲线C的一个标准方程：.

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14. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左焦点为F，虚轴的端点为A，B，若 $△ A B F$ 为等边三角形，则C的离心率为.

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15. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左焦点为 $F$ ，右顶点为 $A$ ，虚轴上顶点为 $B$ ．若双曲线 $C$ 的离心率是 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ ，则 $∠ A B F =$ ．

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16. 已知直线 $x = a$ 与双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的两条渐近线围成的三角形的面积为2，则双曲线C的焦距的最小值为.

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四、解答题

17. 解答下列两个小题：

(1)、双曲线 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 离心率为 $\sqrt{2}$ ，且点 $(2 ， \sqrt{2})$ 在双曲线 $E$ 上，求 $E$ 的方程；

(2)、双曲线 $C$ 实轴长为2，且双曲线 $C$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的焦点相同，求双曲线 $C$ 的标准方程．

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18. 已知双曲线的中心在原点，焦点 $F_{1}, F_{2}$ 在坐标轴上，离心率为 $\sqrt{2}$ ，且过点 $(4, - \sqrt{10})$ ，点 $M (3, m)$ 在双曲线上．

(1)、求双曲线方程；

(2)、求证： $M F_{1} ⊥ M F_{2}$ ；

(3)、求△ $F_{1} M F_{2}$ 的面积．

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19. 在① $m > 0$ ，且C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为 $3 + \sqrt{3}$ ，②C的焦距为6，③C上一点到两焦点距离之差的绝对值为4.这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．问题：已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{m} - \frac{y^{2}}{2 m} = 1$ ，__________，求C的方程．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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20. 已知双曲线过点P（﹣3 $\sqrt{2}$ ，4），它的渐近线方程为y=± $\frac{4}{3}$ x．

(1)、求双曲线的标准方程；

(2)、设F₁和F₂为该双曲线的左、右焦点，点P在此双曲线上，且|PF₁|•|PF₂|=41，求∠F₁PF₂的余弦值．

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21. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\frac{3}{2}$ ，过双曲线 $C$ 的右焦点 $F$ 作渐近线的垂线，垂足为 $N$ ，且 $△ F O N$ ( $O$ 为坐标原点)的面积为 $\sqrt{5}$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、若 $P$ ， $Q$ 是双曲线 $C$ 上的两点，且 $P$ ， $Q$ 关于原点对称， $M$ 是双曲线上异于 $P$ ， $Q$ 的点.若直线 $M P$ 和直线 $M Q$ 的斜率均存在，则 $k_{M P} \cdot k_{M Q}$ 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

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22. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ ＝1(a，b>0)的左、右焦点分别为F₁(-c，0)，F₂(c，0)，其中c>0， M(c，3)在C上，且C的离心率为2.

(1)、求C的标准方程；

(2)、若O为坐标原点，∠F1MF2的角平分线l与曲线D： $\frac{x^{2}}{c^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ ＝1的交点为P，Q，试判断OP与OQ是否垂直，并说明理由.

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