高中数学人教A版（2019）选择性必修一3.1 椭圆同步练习

试卷更新日期：2021-09-10 类型：同步测试

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一、单选题

1. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则（）

A、 $a = 2 b^{2}$ B、 $a = 2 b$ C、 $3 a^{2} = 4 b^{2}$ D、 $3 a = 4 b$

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2. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{m + 4} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则椭圆C的长轴长为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、4 C、 $4 \sqrt{3}$ D、8

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3. 以椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形为等边三角形，且椭圆 $C$ 上的点到左焦点的最大距离为6，则椭圆 $C$ 的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{48} = 1$

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4. 若椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的焦点在 $x$ 轴上，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(0 ， 5)$ B、 $(0 ， 5]$ C、 $(5 ， + \infty)$ D、 $[5 ， + \infty)$

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5. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{10 - m} + \frac{y^{2}}{m - 2} = 1$ 的长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（）

A、3 B、5 C、7 D、8

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6. 明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆.已知图（1）、（2）、（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别 $\frac{13}{9}$ 、 $\frac{56}{45}$ 、 $\frac{10}{7}$ ，设图（1）、（2）、（3）中椭圆的离心率分别为 $e_{1}$ 、 $e_{2}$ 、 $e_{3}$ ，则（）

A、 $e_{1} > e_{3} > e_{2}$ B、 $e_{2} > e_{1} > e_{3}$ C、 $e_{1} > e_{2} > e_{3}$ D、 $e_{2} > e_{3} > e_{1}$

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7. 古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积．已知椭圆C的中心在原点，焦点F₁ ， F₂在y轴上，其面积为8 $\sqrt{3}$ π，过点F₁的直线l与椭圆C交于点A，B且△F₂AB的周长为32，则椭圆C的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $\frac{y^{2}}{64} + \frac{x^{2}}{3} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{48} = 1$ D、 $\frac{y^{2}}{64} + \frac{x^{2}}{48} = 1$

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8. “天问一号”推开了我国行星探测的大门，通过一次发射，将实现火星环绕､着陆､巡视，是世界首创，也是我国真正意义上的首次深空探测.2021年2月10日，天问一号探测器顺利进入火星的椭圆环火轨道(将火星近似看成一个球体，球心为椭圆的一个焦点).2月15日17时，天问一号探测器成功实施捕获轨道“远火点(椭圆轨迹上距离火星表面最远的一点)平面机动”，同时将近火点高度调整至约265公里.若此时远火点距离约为11945公里，火星半径约为3395公里，则调整后“天问一号”的运行轨迹(环火轨道曲线)的离心率约为（）

A、0.61 B、0.67 C、0.71 D、0.77

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二、多选题

9. 若椭圆 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，则m的取值为（）

A、 $\frac{16}{3}$ B、6 C、3 D、 $\frac{17}{3}$

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10. 若 $\frac{x^{2}}{10 - m} + \frac{y^{2}}{m - 2} = 1$ 为椭圆的方程，则 $m =$ （）

A、3 B、6 C、8 D、11

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11. 2月10日19时52分，首次火星探测任务“天问一号”探测器在火星附近一点P变轨进入以火星星球球心F为一个焦点的椭圆轨道I(环火轨道)绕火星飞行，2021年2月24日6时29分，“天问一号”探测器成功实施第三次近火制动，在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ(火星停泊轨道)，且测得该轨道近火点m千米､远火点n千米，火星半径为r千米，若用 $2 c_{1}$ 和 $2 c_{2}$ 分别表示椭圆轨道I和Ⅱ焦距，用 $2 a_{1}$ 和 $2 a_{2}$ 分别表示椭圆轨道I和Ⅱ的长轴长，则下列关系中正确的是（）

A、 $a_{1} + c_{1} = a_{2} + c_{2}$ B、 $a_{1} - c_{1} = a_{2} - c_{2}$ C、椭圆轨道Ⅱ的短轴长 $2 \sqrt{(m + r) (n + r)}$ D、 $a_{2} c_{1} < a_{1} c_{2}$

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12. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，点 $P$ 在椭圆 $C$ 上，点 $Q$ 在圆 $E ： {(x + 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 4$ 上，且圆 $E$ 上的所有点均在椭圆 $C$ 外，若 $| P Q | - | P F |$ 的最小值为 $2 \sqrt{5} - 6$ ，且椭圆 $C$ 的长轴长恰与圆 $E$ 的直径长相等，则下列说法正确的是（）

A、椭圆 $C$ 的焦距为2 B、椭圆 $C$ 的短轴长为 $\sqrt{3}$ C、 $| P Q | + | P F |$ 的最小值为 $2 \sqrt{5}$ D、过点 $F$ 的圆 $E$ 的切线斜率为 $\frac{- 4 \pm \sqrt{7}}{3}$

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三、填空题

13. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ ，则其长轴长为，离心率为.

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14. 椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点P在椭圆上，如果 $P F_{1}$ 的中点在y轴上，那么 $| P F_{1} |$ 是 $| P F_{2} |$ 的倍

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15. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，A是椭圆上一点， $A F_{2} ⊥ F_{1} F_{2}$ ，若原点 $O$ 到直线 $A F_{1}$ 的距离为 $\frac{1}{3} | O F_{1} |$ ，则该椭圆的离心率为．

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16. 设椭圆 $Γ ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 1)$ ，直线l过 $Γ$ 的左顶点A交y轴于点P ，交 $Γ$ 于点Q ，若 $△ A O P$ 为等腰三角形（O为坐标原点），且Q是 $A P$ 的中点，则 $Γ$ 的长轴长等于.

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四、解答题

17.

(1)、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，右焦点为( $\sqrt{2}$ ，0).求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过 $(1, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，一个焦点为 $(\sqrt{3}, 0)$ .求椭圆 $C$ 的方程.

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18. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)、长轴长是短轴长的 $3$ 倍，且过点 $(3, - 1)$ ；

(2)、椭圆过点 $(3, 0)$ ，离心率 $e = \frac{\sqrt{6}}{3}$ .

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19. 已知椭圆两焦点 $F_{1} (- 1, 0)$ 、 $F_{2} (1, 0)$ 且经过点 $A (\sqrt{3}, \frac{4 \sqrt{3}}{3})$

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、若点 $P$ 是椭圆上的一个点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{6}$ ，求 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积．

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20. 已知椭圆 $G ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过 $A (0 ， 4)$ ， $B (\sqrt{5} ， - 2 \sqrt{3})$ 两点，直线 $l$ 交椭圆 $G$ 于 $M$ ， $N$ 两点.

(1)、求椭圆 $G$ 的标准方程；

(2)、若直线 $l$ 过点 $F$ ，是否存在常数 $t$ ，使得 $t \vec{O M} \cdot \vec{O N} + \vec{F M} \cdot \vec{F N}$ 为定值，若存在，求 $t$ 的值及定值；若不存在，请说明理由.

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21. 设F为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的右焦点，过点 $(2 ， 0)$ 的直线与椭圆C交于 $A ， B$ 两点.

(1)、若点B为椭圆C的上顶点，求直线 $A F$ 的方程；

(2)、设直线 $A F ， B F$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2} (k_{2} \neq 0)$ ，求证： $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 为定值.

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22. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ）的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，左焦点为F，过F的直线 $l$ 交椭圆于A，B两点，P为椭圆上任意一点，当直线 $l$ 与x轴垂直时， $| A B | = 3$ ．

(1)、求椭圆的方程；

(2)、当直线 $l$ 变动时，求 $△ A B P$ 面积的最大值．

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