河北省唐山市丰南区2020-2021学年九年级上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2021-09-10 类型：期中考试

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一、单选题

1. 抛物线 $y = - x^{2} + 4 x + 2$ 的对称轴是 $($ $)$

A、直线 $x = 2$ B、直线 $x = - 2$ C、直线 $x = 1$ D、直线 $x = - 1$

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2. x＝1是关于x的一元二次方程x²+ax+2b＝0的解，则﹣a﹣2b＝（）

A、﹣1 B、1 C、2 D、﹣2

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3. 下列图形中，不是中心对称图形的是（）

A、圆 B、菱形 C、正十边形 D、等边三角形

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4. 已知点 $A (1, y_{1}), B (2, y_{2})$ 在抛物线 $y = - {(x + 1)}^{2} + 2$ 上，则下列结论正确的是（）

A、 $2 > y_{1} > y_{2}$ B、 $2 > y_{2} > y_{1}$ C、 $y_{1} > y_{2} > 2$ D、 $y_{2} > y_{1} > 2$

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5. 一元二次方程 $x^{2} - 4 x - 1 = 0$ 配方后可化为（）

A、 ${(x + 2)}^{2} = 5$ B、 ${(x + 2)}^{2} = 3$ C、 ${(x - 2)}^{2} = 5$ D、 ${(x - 2)}^{2} = 3$

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6. 如图所示，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°<α<90°）.若∠1=110°，则α等于（）

A、20° B、30° C、40° D、50°

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7. 把抛物线y＝3 $x^{2}$ +1先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的解析式是（）

A、y＝3 ${(x + 3)}^{2}$ ﹣2 B、y＝3 ${(x + 2)}^{2}$ +3 C、y＝3 ${(x - 3)}^{2}$ ﹣2 D、y＝3 ${(x - 3)}^{2}$ +3

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8. 已知 $m > 1$ ，则关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 x + \frac{1}{4} m + 3 = 0$ 根的情况为（）

A、无实数根 B、有两个相等实数根 C、有两个不相等实数根 D、无法确定

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9. 某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为108元，已知两次降价的百分率相同．设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（）

A、168（1+x）²＝108 B、168（1﹣x）²＝108 C、168（1﹣2x）＝108 D、168（1﹣x²）＝108

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10. 已知关于x的一元二次方程（a+1）x²﹣2x+a²+a＝0有一个根为x＝0，则a的值为（）

A、0 B、0或﹣1 C、1 D、﹣1

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11. 如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，∠BAC=30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB₁C₁ ，连接BC₁ ，则BC₁的长为（）

A、6 B、8 C、10 D、12

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12. 二次函数 $y = x^{2} - a x + b$ 的图象如图所示，对称轴为直线 $x = 2$ ，下列结论错误的是（）

A、 $a = 4$ B、当 $b = - 4$ 时，顶点的坐标为 $(2 ， - 8)$ C、当 $x = - 1$ 时， $b > - 5$ D、当 $x > 3$ 时，y随x的增大而增大

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13. 在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4．则下列结论错误的是（）

A、AE//BC B、∠ADE=∠BDC C、△BDE是等边三角形 D、△ADE的周长是9

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14. 二次函数y＝ax²+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表：

x

﹣1

0

1

3

y

﹣1

3

5

3

下列结论：①ac＜0；②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小；③3是方程ax²+（b﹣1）x+c＝0的一个根；④当﹣1＜x＜3时，ax²+bx+c＜x．其中正确的个数为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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15. 某建筑物，从10m高的窗口A ，用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直），如图所示，如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面 $\frac{40}{3}$ m，则水流落地点B离墙的距离OB是（）

A、2m B、3m C、4m D、5m

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16. 如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C₁ ，它与x轴交于点O，A₁；将C₁绕点A₁旋转180°得C₂ ，交x轴于点A₂；将C₂绕点A₂旋转180°得C₃ ，交x轴于点A₃；…，如此进行下去，直至得C₁₃ ．若P（32，m）在第11段抛物线C₁₁上，则m值为（）

A、2 B、1.5 C、﹣2 D、﹣2.25

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二、填空题

17. 方程2（x+3）²＝x+3的解为．

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18. 抛物线y＝ax²+bx+c的部分图象如图，则当y＞3时，x的取值范围是．

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19. 如图，在平面直角坐标系中， $R t Δ A B C$ 的直角顶点 $C$ 的坐标为 $(1 ， 0)$ ，点 $A$ 在 $x$ 轴正半轴上，且 $A C = 2$ .将 $Δ A B C$ 先绕点 $C$ 逆时针旋转 $90^{\circ}$ ，再向左平移3个单位，则变换后点 $A$ 的对应点的坐标为.

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20. 二次函数y＝﹣x²+2x﹣3．

(1)、当2＜x＜5时，函数值y的取值范围是；

(2)、当0≤x＜3时，函数值y的取值范围是．

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三、解答题

21. 定义新运算：对于任意实数m，n都有 $m ☆ n ＝ m^{2} ﹣ m n + n$ ，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如： $- 3 ☆ 2 ＝ {(- 3)}^{2} - (- 3) \times 2 + 2 ＝ 17$ ．根据以上知识解决问题：

(1)、若 $x ☆ 3 ＝ 1$ ，求x的值；

(2)、求抛物线 $y ＝ (2 - x) ☆ (- 1)$ 的顶点坐标；

(3)、将（2）中的抛物线绕着原点旋转 $180 °$ ，写出得到的新的抛物线解析式．

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22. 如图，在平面直角坐标系中，△AOB是边长为3的等边三角形，将△AOB绕着点B按顺时针方向旋转得到△DCB，使得点D落在x轴的正半轴上，连接OC，AD．

(1)、求证：OC＝AD；

(2)、求OC的长．

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23. 探究：在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次．

(1)、若参加聚会的人数为3，则共握手次；若参加聚会的人数为6，则共握手次；

(2)、若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手次；

(3)、若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数．
拓展：

嘉嘉给琪琪出题：“若在直角∠AOB的内部由顶点O引出m条射线（不含OA、OB边），角的总数为20，求m的值．”

琪琪的思考：“在这个问题上，角的总数不可能为20．”琪琪的思考对吗？若对，请求出m的值；若不对，请说明理由．

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24. 如图①是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD＝13，DM＝5．

(1)、在旋转过程中．
①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长；

②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长；

(2)、若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D₁转到其内的点D₂处，连接D₁D₂ ．如图②，此时∠AD₂C＝135°，CD₂＝20，求BD₂的长．

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25. 某汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价为25万元，市场调研表明：当销售价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆．如果设每辆汽车降价x万元，每辆汽车的销售利润为y万元．（销售利润=销售价﹣进货价）

(1)、求y与x的函数关系式，在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范围；

(2)、当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？

(3)、要使该汽车城平均每周的销售利润不低于48万元，那么销售价应定在哪个范围？

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26. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + 5$ 经过 $A (- 5，0)$ ， $B (- 4， - 3)$ 两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD.

(1)、求该抛物线的表达式；

(2)、点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t.
①当点P在直线BC的下方运动时，求 $Δ P B C$ 的面积的最大值；

②该抛物线上是否存在点P，使得 $∠ P B C = ∠ B C D$ 若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.

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x	﹣1	0	1	3
y	﹣1	3	5	3