湖南省邵阳市邵阳县2020-2021学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-09-09 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x - 2 < 0}$ ， $B = {x | | x - 1 | < 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）．

A、 ${x | x < 2}$ B、 ${x | 2 < x < 4}$ C、 ${x | x < 4}$ D、 ${x | - 2 < x < 2}$

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2. 命题“ $\forall x > 0$ ， $x^{2} - 2 x + 5 < 0$ ”的否定是（）．

A、 $\exists x \leq 0$ ， $x^{2} - 2 x + 5 < 0$ B、 $\exists x > 0$ ， $x^{2} - 2 x + 5 \geq 0$ C、 $\forall x \leq 0$ ， $x^{2} - 2 x + 5 < 0$ D、 $\forall x > 0$ ， $x^{2} - 2 x + 5 \geq 0$

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3. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x + 1} ， x \leq 0 ， \\ x + 3 ， x > 0 ， \end{array}$ 则f(f(-2))＝（）

A、5 B、 $\frac{9}{2}$ C、4 D、 $\frac{7}{2}$

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4. 已知 $P = a^{2} + 2 b + 3$ ， $Q = - b^{2} + 4 a - 2$ ，则 $P$ ， $Q$ 的大小关系是（）．

A、 $P > Q$ B、 $P < Q$ C、 $P \geq Q$ D、 $P \leq Q$

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5. 下列函数中，不能化为指数函数的是（）

A、 $y = 2^{x} \cdot 3^{x}$ B、 $y = 2^{x - 1}$ C、 $y = 3^{2 x}$ D、 $y = 4^{- x}$

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6. “ $| x - 2 | > 2$ ”是“ $\frac{2}{x - 2} < 1$ ”的（）．

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 函数 $y = a^{x} - \frac{1}{a}$ 的大致图象不可能是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 若函数 $f (x) = x^{2} - 4 x - 3$ 在区间 $[n ， m]$ 上的值域为 $[- 7 ， 2]$ ，则 $m - n$ 的取值范围是（）．

A、 $[1 ， 5]$ B、 $[2 ， 7]$ C、 $[3 ， 6]$ D、 $[4 ， 7]$

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二、多选题

9. 已知全集为 $U$ ，集合 $A$ 和集合 $B$ 的韦恩图如图所示，则图中阴影部分可表示为（）

A、 $(∁_{U} A) \cap B$ B、 $∁_{U} (A \cap B)$ C、 $[∁_{U} (A \cap B)] \cap B$ D、 $(∁_{U} A) \cup (∁_{U} B)$

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10. 已知 $a > b$ ，则下列不等式一定成立的是（）．

A、 $a^{2} > b^{2}$ B、 $a - 3 > b - 4$ C、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ D、 $\frac{a}{c^{2} + 1} > \frac{b}{c^{2} + 1}$

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11. 下列结论正确的是（）．

A、若 $a$ 是无理数， $b$ 是有理数，则 $a b$ 是无理数 B、若 $x > 1$ ，则 $x + \frac{9}{x - 1} \geq 7$ C、若“ $\forall x \in [- 1 ， 2]$ ， $- x^{2} + a x + 3 > 0$ ”是真命题，则 $\frac{1}{2} < a < 2$ D、已知 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程 $x^{2} - 5 x + 3 = 0$ 的两个实根，则 $\frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}} = \frac{19}{3}$

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12. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，对任意的 $x$ 都有 $f (x + 5) = f (1 - x) + f (3)$ ，且 $f (5) = - 2$ ．当 $x_{1} ， x_{2} \in [0 ， 3]$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ 时， $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 恒成立，则（）．

A、 $f (29) = - 2$ B、直线 $x = - 9$ 是 $f (x)$ 图象的对称轴 C、 $f (x)$ 在 $[8 ， 10]$ 上是减函数 D、方程 $f (x) + 2 = 0$ 在 $(- 7 ， 7)$ 上有6个实根

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = \frac{3}{x + 2} - \sqrt{2 x + 5}$ 的定义域是．

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14. 已知 $a + a^{- 1} = 14$ ，则 $a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}} =$ ．

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15. 若命题“ $\exists x > 0$ ， $x^{2} + a x + 9 \leq 0$ ”是真命题，则 $a$ 的取值范围是．

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | x - 3 | ， x > 0 \\ - x^{2} - 4 x - 3 ， x \leq 0 \end{array}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - m$ 恰有2个零点，则 $m$ 的取值范围为.

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四、解答题

17. 已知全集 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9}$ ，集合 $A = {1 ， 2 ， 4 ， 7 ， 8}$ ， $B = {2 ， 3 ， 4 ， 6 ， 9}$ .

(1)、求 $A \cap B$ ， $A \cup B$ ；

(2)、求 $(∁_{U} A) \cap B$ ， $A \cup (∁_{U} B)$ .

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18. 在① $f (x + 1) = f (x) + 2 x - 1$ ，② $f (x + 1) = f (1 - x)$ 且 $f (0) = 3$ ，③ $f (x) \geq 2$ 恒成立且 $f (0) = 3$ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
问题：已知二次函数 $f (x)$ 的图象经过点 $(1 ， 2)$ ，_________．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[- 1 ， 4]$ 上的值域．

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19. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 15 < 0}$ ， $B = {x | x^{2} - 2 a x + a^{2} - 1 < 0}$ ．

(1)、当 $a = - 3$ 时，求 $A \cup B$ ；

(2)、若“ $x \in B$ ”是“ $x \in A$ ”的充分不必要条件，求 $a$ 的取值范围．

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20. 某商场为回馈客户，开展了为期15天的促销活动，经统计，在这15天中，第x天进入该商场的人次 $f (x)$ （单位：百人）近似满足 $f (x) = 5 + \frac{5}{x}$ ．而人均消费g（x）（单位：元）与时间x成一次函数，且第5天的人均消费为600元，最后一天的人均消费为800元．

(1)、求该商场的日收入y（单位：元）与时间x的函数关系式；

(2)、求该商场第几天的日收入最少及日收入的最小值．

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21. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} + 2 m - 2) x^{m + 2}$ ，且在 $(0 ， + \infty)$ 上是减函数．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 ${(3 - a)}^{m} > {(a - 1)}^{m}$ ，求 $a$ 的取值范围．

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22. 已知 $f (x) = \frac{b - 3^{x}}{3^{x - 1} + t}$ 是定义在 $R$ 上的奇函数．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、已知 $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ，若对于任意 $x \in [1 ， + \infty)$ ，存在 $m \in [- 2 ， 1]$ ，使得 $f (x) - x^{2} + 2 x - \frac{5}{2} \leq a^{m + 1}$ 成立，求 $a$ 的取值范围．

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