湖北省武汉市部分重点中学2020-2021学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-09-09 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下面四个关系中正确的是（）

A、 $ϕ \in {0}$ B、 $a \notin {a}$ C、 $0 \subseteq {0}$ D、 ${a, b} \subseteq {b, a}$

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2. 已知集合 $A = {- 1, 0, 1, 2}$ ， $B = {x | - 1 < x \leq 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0, 1}$ B、 ${- 1, 1}$ C、 ${- 1, 0, 1}$ D、 ${0, 1, 2}$

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3. 函数 $f (x) = \frac{| x |}{x} + x$ 的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 已知函数 $f (x) = {\begin{cases} x + 1 ， x \geq 0 \\ x^{2} ， x < 0 \end{cases}$ ，则 $f [f (- 2)]$ 的值为（）

A、1 B、2 C、4 D、5

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5. 已知函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $[0 ， 2]$ ，则函数 $f (2 x + 1)$ 的定义域为（）

A、 $[0 ， 2]$ B、 $[- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2}]$ C、 $[1 ， 5]$ D、 $[0 ， 5]$

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6. 已知命题 $p ： \exists x < y$ ，使得 $x | x | ⩾ y | y |$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\exists x \geq y$ ，使得 $x | x | ⩾ y | y |$ B、 $\forall x ⩾ y$ ， $x | x | < y | y |$ C、 $\exists x < y$ ，使得 $x | x | < y | y |$ D、 $\forall x < y$ ，总有 $x | x | < y | y |$

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7. 定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 在 $[0 ， + \infty)$ 上单调递减，若 $f (1) = - 1$ ，则满足 $- 1 \leq f (x - 2) \leq 1$ 的 $x$ 的取值范围是（）.

A、 $[- 2 ， 2]$ B、 $[- 1 ， 1]$ C、 $[0 ， 4]$ D、 $[1 ， 3]$

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8. 咖啡产品的经营和销售如何在中国开拓市场是星巴克、漫咖啡等欧美品牌一直在探索的内容，而2018年至今中国咖啡行业的发展实践证明了以优质的原材料供应以及大量优惠券、买赠活动吸引消费者无疑是开拓中国咖啡市场最有效的方式之一.若某品牌的某种在售咖啡产品价格为30元/杯，其原材料成本为7元/杯，营销成本为5元/杯，且该品牌门店提供如下4种优惠方式：
⑴首杯免单，每人限用一次；

⑵3.8折优惠券，每人限用一次；

⑶买2杯送2杯，每人限用两次；

⑷买5杯送5杯，不限使用人数和使用次数.每位消费者都可以在以上4种优惠方式中选择不多于2种使用.现在某个公司有5位后勤工作人员去该品牌门店帮每位技术人员购买1杯咖啡，购买杯数与技术人员人数须保持一致；请问，这个公司的技术人员不少于（）人时，无论5位后勤人员采用什么样的优惠方式购买咖啡，这笔订单该品牌门店都能保证盈利.

A、28 B、29 C、30 D、31

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二、多选题

9. 已知集合 $A = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1} ， B = {x | (x - 1) (x + 2) \leq 0}$ ，则（）

A、 $A \cap B = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1}$ B、 $A \cup B = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1}$ C、 $A \cap B = {- 1 ， 0 ， 1}$ D、 $A \cup B = {x | - 2 \leq x \leq 1}$

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10. 下列各组函数是同一个函数的是（）

A、 $f (x) = x^{2} - 2 x - 1$ 与 $g (t) = t^{2} - 2 t - 1$ B、 $f (x) = x^{0}$ 与 $g (x) = \frac{1}{x^{0}}$ C、 $f (x) = \frac{1}{x}$ 与 $g (x) = \frac{2}{x}$ D、 $f (x) = 2 x - 1 (x \in Z)$ 与 $g (x) = 2 x + 1 (x \in Z)$

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11. 下列函数中，在区间 $(0 ， 1)$ 上是增函数的是（）

A、 $y = | x |$ B、 $y = x + 3$ C、 $y = \frac{1}{x}$ D、 $y = - x^{2} + 4$

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12. 已知 $f (x) = x^{2} - 2 x - 3$ ， $x \in [0 ， a]$ ， $a$ 为大于0的常数，则 $f (x)$ 的值域可能为（）

A、 $[- 4 ， - 3]$ B、 $R$ C、 $[- 4 ， 10]$ D、 $[- 3 ， 10]$

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三、填空题

13. 若函数 $y = x^{2} + (2 a - 1) x + 1$ 在区间（－∞，2）上是减函数，则实数a的取值范围是

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14. 若 $a > 0, b > 0$ ，则“ $a + b \leq 4$ ”是 “ $a b \leq 4$ ”的条件

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15. 若命题“ $\exists x \in R$ 使 $x^{2} + (a - 1) x + 1 < 0$ ”是假命题，则实数 $a$ 的取值范围为，

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16. 设 $a$ ， $b$ 均为正数，且 $a + 2 b = 1$ ，则下列四个命题正确的有．
① $a b$ 有最大值 $\frac{1}{8}$

② $\sqrt{a} + \sqrt{2 b}$ 有最大值 $\sqrt{2}$

③ $a^{2} + b^{2}$ 有最小值 $\frac{1}{5}$

④ $a^{2} - b^{2}$ 有最小值 $- \frac{1}{4}$

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四、解答题

17. 设集合 $U = R$ ， $A = {x | x^{2} - x - 6 < 0}$ ， $B = {x | x^{2} - 5 x + 4 \geq 0}$ ， $C = {x | x < a}$

(1)、求图中阴影部分表示的集合；

(2)、若 $B \cap C = C$ ，求 $a$ 的取值范围．

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18. 已知定义在 $(0 ， + \infty)$ 数上的函数 $y = f (x)$ ，对任意的 $x_{1} ， x_{2} \in (0 ， + \infty)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ， $(x_{1} - x_{2}) [f (x_{1}) - f (x_{2})] > 0$ 恒成立且满足 $f (x y) = f (x) + f (y)$ ， $f (2) = 1$

(1)、求 $f (4)$ 的值

(2)、求不等式 $f (x) + f (x - 2) > 3$ 的解集

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19. 已知函数 $f (x) = x | x | - 2 x ， x \in R$

(1)、求 $y = f (x)$ 奇偶性

(2)、画出函数 $y = f (x)$ 的图像：

(3)、求 $y = f (x)$ ， $x \in [- 4 ， 2]$ 的值域

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20. 若关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - (2 a + 1) x + a^{2} + a \leq 0$ 的解集为A，不等式 $\frac{3}{2 - x} \geq 2$ 的解集为B．

(1)、求集合A；

(2)、已知B是A的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

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21. 经观测，某公路段在某时段内的车流量 $y$ (千辆/小时)与汽车的平均速度 $v$ (千米/小时)之间有函数关系： $y = \frac{900 v}{v^{2} + 5 v + 1000} (v > 0)$ ．

(1)、在该时段内，当汽车的平均速度 $v$ 为多少时车流量 $y$ 最大？

(2)、为保证在该时段内车流量至少为12千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？

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22. 函数 $f (x) = \frac{x^{2} - x + 1}{x - 1}$ ， $x \in [2 ， + \infty)$ ， $g (x) = x^{2} + a x + 3$ ， $x \in M$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调性：

(2)、若 $M = [- 2 ， 2]$ ，求使 $g (x) \geq a$ 恒成立时 $a$ 的取值范围；

(3)、若 $a > - 3$ ， $M = [2 ， + \infty)$ ， $\forall x_{1} \in [2 ， + \infty)$ ， $\exists x_{2} \in M$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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