湖北省部分省级示范高中2020-2021学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-09-09 类型：期中考试

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一、单选题

1. 集合 $A = {x | y = \sqrt{x (2 - x)}}$ ， $B = {y | y = 2^{x} ， x > 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[0 ， 2]$ B、 $(1 ， 2]$ C、 $[1 ， 2]$ D、 $(1 ， + \infty)$

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2. 已知 $a$ = ${0.3}^{2} ， b$ = $\log_{2} 0.3 ， c$ = $2^{0.3}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系是（）

A、 $a < c < b$ B、 $a < b < c$ C、 $b < a < c$ D、 $b < c < a$

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3. 函数 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x} + x - 2$ 的零点一定位于下列哪个区间（）.

A、 $(\frac{1}{2} ， 1)$ B、 $(1 ， \frac{3}{2})$ C、 $(\frac{3}{2} ， 2)$ D、 $(2 ， \frac{5}{2})$

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4. 已知偶函数 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上单调递增，则对实数 $a 、 b$ ，“ $a >| b |$ ”是“ $f (a) > f (b)$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知 $f (\sqrt{x} + 1) = x + 3$ ，则 $f (x + 1)$ 的解析式为（）

A、 $x + 4 (x \geq 0)$ B、 $x^{2} + 3 (x \geq 0)$ C、 $x^{2} - 2 x + 4 (x \geq 1)$ D、 $x^{2} + 3 (x \geq 1)$

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6. 函数 $y = \frac{x a^{x}}{| x |} (0 < a < 1)$ 的图像的大致形状是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} (5 a - 1) x + 4 a ， x < 1 \\ \log_{a} x ， x \geq 1 \end{array}$ 是 $(- \infty ， + \infty)$ 上的减函数，那么 $a$ 的取值范围是（）.

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(0 ， \frac{1}{5})$ C、 $[\frac{1}{9} ， \frac{1}{5})$ D、 $[\frac{1}{9} ， 1)$

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8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设 $x \in R$ ，用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数,则 $y = [x]$ 称为高斯函数,例如: $[- 3.5] = - 4$ ， $[2.1] = 2$ ，已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} - \frac{1}{2}$ ，则函数 $y = [f (x)]$ 的值域是（）

A、 ${0, 1}$ B、 ${1}$ C、 ${- 1, 0, 1}$ D、 ${- 1, 0}$

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二、多选题

9. 已知U为全集，下列各项中与 $A \subseteq B$ 等价的有（）

A、 $A \cap B = B$ B、 $A \cup B = B$ C、 $A \cap C_{U} B = \emptyset$ D、 $C_{U} B \subseteq C_{U} A$

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10. 设 $a ， b ， c \in R$ ，且 $a > b$ ，则下列不等式成立的有（）.

A、 $a c^{2} > b c^{2}$ B、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ C、 $a^{3} > b^{3}$ D、 $2^{a} > 2^{b}$

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11. 下列命题正确的是（）

A、函数 $f (x) = \ln x$ 与函数 $g (x) = e^{x}$ 的图象关于直线 $y = x$ 对称 B、已知 $x ， y \in R$ ，集合 $A = {1 ， x - 1} ， B = {y ， 2}$ ，若 $A \subseteq B$ ，则 $x - y = 2$ C、 $\exists x > 4 ， x^{2} > 2^{x}$ 的否定是 $\forall x > 4 ， x^{2} < 2^{x}$ D、 $x \neq 0$ 时， $x + \frac{1}{x} ⩾ 2$

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12. 设 $a > 1$ ， $b > 1$ 且 $a b - (a + b) = 1$ ，那么（）

A、 $a + b$ 有最小值 $2 + 2 \sqrt{2}$ B、 $a + b$ 有最大值 $2 + 2 \sqrt{2}$ C、ab有最大值 $1 + \sqrt{2}$ D、ab有最小值 $3 + 2 \sqrt{2}$

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三、填空题

13. 幂函数 $f (x) = (m^{2} - m - 1) x^{m^{2} + m - 3}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上是减函数，则实数 $m$ 的值为.

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14. 已知函数 $f (x)$ 是 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x (2 + x)$ ，则当 $x \leq 0$ 时， $f (x) =$ .

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15. 给出下列结论：
① ${(- 2)}^{\frac{2}{6}} = {(- 2)}^{\frac{1}{3}}$ ；

② $y = x^{2} + 1$ ， $x \in [- 1 ， 2]$ ， $y$ 的值域是 $[2 ， 5]$ ；

③幂函数图象一定不过第四象限：

④函数 $y = a^{x + 1} - 2 (a > 0 ， a \neq 1)$ 的图像过定点 $(- 1 ， - 1)$ ；

其中正确的序号是.

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16. 已知 $1 < b < \frac{5}{4}$ ，则方程 $| x^{2} - 1 | = x + b$ 的不等实根一共有个.

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四、解答题

17. 计算下列各式的值：

(1)、 $8^{\frac{2}{3}} - {(\frac{1}{2})}^{- 2} + {(\frac{16}{81})}^{- \frac{3}{4}} - {(- 2020)}^{0}$ ；

(2)、 $2 \lg 5 + \frac{2}{3} \lg 8 + \lg 5 \cdot \lg 20 + {(\lg 2)}^{2} + 7^{\log_{7} 5}$ .

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18. 已和知集合 $A = {x | (x - a) (x - a^{2}) < 0}$ ，集合 $B = {x | \frac{2 x}{x - 1} < 1}$ ，命题 $p ： x \in A$ ，命题 $q ： x \in B$ .

(1)、当实数 $a$ 为何值时， $p$ 是 $q$ 的充要条件；

(2)、若 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 已知奇函数 $f (x) = \lg \frac{m x + n}{1 + 2 x}$ 在 $x = 0$ 处有定义.

(1)、求 $m$ 、 $n$ 的值.

(2)、判断 $f (x)$ 的单调性，并说明理由，

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20. 某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目，经测算该项目月处理成本 $y$ （元）与月处理量 $x$ （吨）之间的函数关系可以近似地表示为： $y = {\begin{array}{l} \frac{1}{3} x^{3} - 80 x^{2} + 5040 x ， x \in [120 ， 144) \\ \frac{1}{2} x^{2} - 200 x + 80000 ， x \in [144 ， 500) \end{array}$ ，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元.

(1)、当 $x \in [200 ， 300]$ 时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润：如果不获利，则月处理量 $x$ 为多少吨时可使亏损量最小？

(2)、该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

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21. 已知关于 $x$ 不等式 $x^{2} - 2 m x + m + 2 \leq 0 (m \in R)$ 的解集为 $M$ .

(1)、 $[1 ， 2] \subseteq M$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

(2)、当 $M$ 不为空集，且 $M \subseteq [1 ， 4]$ 时，求实数 $m$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x)$ 对任意的实数 $m$ ， $n$ ，都有 $f (m + n) = f (m) + f (n) - 1$ ，且当 $x > 0$ 时，有 $f (x) > 1$ .

(1)、求 $f (0)$ 的值；

(2)、求证： $f (x)$ 在 $R$ 上为增函数；

(3)、若 $f (2) = 3$ ，且关于 $x$ 的不等式 $f (a x - 2) + f (x - x^{2}) < 3$ 对任意 $x \in [- 1 ， + \infty)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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