广东省佛山市南海区2020-2021学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-09-09 类型：期中考试

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一、单选题

1. 如图，已知全集 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ，集合 $A = {1 ， 3 ， 5}$ ，则图中阴影部分表示的集合是（）

A、 ${2 ， 4}$ B、 ${1 ， 3 ， 5}$ C、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ D、 $\emptyset$

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2. 已知命题p： $\forall x \in R$ ， $2 x^{2} + 1 > 0$ ，则 $\neg p$ 是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $2 x^{2} + 1 > 0$ B、 $\exists x \in R$ ， $2 x^{2} + 1 > 0$ C、 $\exists x \in R$ ， $2 x^{2} + 1 \leq 0$ D、 $\exists x \in R$ ， $2 x^{2} + 1 < 0$

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3. 如图中，可作为函数y=f（x）图象的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 设 $x \in R$ ，则“ $x^{2} - 5 x < 0$ ”是“ $0 < x < 2$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 下列函数中是偶函数，且在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增的是（）

A、 $f (x) = x^{4}$ B、 $f (x) = x^{5}$ C、 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ D、 $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$

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6. 函数 $y = 2^{- x}$ 和 $y = 2^{x}$ 的图象关于（）

A、 $x$ 轴对称 B、 $y$ 轴对称 C、原点对称 D、直线 $y = x$ 对称

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7. 定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (1) = 0$ 且对任意的正数 $a$ ､ $b$ ( $a \neq b$ )，有 $\frac{f (a) - f (b)}{a - b} < 0$ ，则不等式 $\frac{f (x)}{x} < 0$ 的解集是（）

A、 $(- 1 ， 0) \cup (1 ， + \infty)$ B、 $(- 1 ， 0) \cup (0 ， 1)$ C、 $(- \infty ， - 1) \cup (1 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 1) \cup (0 ， 1)$

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8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”.设 $x \in R$ ，用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则 $y = [x]$ 称为高斯函数.例如： $[- 3.5] = - 4$ ， $[2.1] = 2$ ，已知函数 $f (x) = x - [x]$ ，则下列选项中，正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最大值为1，没有最小值 B、 $f (x)$ 的最小值为0，没有最大值 C、 $f (x)$ 没有最大值，没有最小值 D、 $f (x)$ 的最大值为1，最小值为0

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二、多选题

9. 已知函数 $y = x^{α} (α \in R)$ 的图象过点（3，27），下列说法正确的是（）

A、函数 $y = x^{α}$ 的图象过原点 B、函数 $y = x^{α}$ 是奇函数 C、函数 $y = x^{α}$ 是单调减函数 D、函数 $y = x^{α}$ 的值域为 $R$

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10. 如图，某池塘里的浮萍面积 $y$ (单位： $m^{2}$ )与时间 $t$ (单位：月)的关系式为 $y = k a^{t}$ ( $k \in R$ ，且 $k \neq 0$ ； $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ).则下列说法正确的是（）

A、浮萍每月增加的面积都相等 B、第6个月时，浮萍的面积会超过 $30 m^{2}$ C、浮萍每月的增长率为1 D、若浮萍面积蔓延到 $4 m^{2}$ ， $6 m^{2}$ ， $9 m^{2}$ 所经过的时间分别为 $t_{1}$ ， $t_{2}$ ， $t_{3}$ ，则 $t_{1} + t_{3} = 2 t_{2}$

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11. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + b = 1$ ，则（）

A、 $a b \leq \frac{1}{4}$ B、 $2^{a - b} > \frac{1}{2}$ C、 $\log_{2} a + \log_{2} b \geq - 2$ D、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{1}{4}$

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12. 对任意两个实数 $a$ ， $b$ ，定义 $\min (a ， b) = {\begin{array}{l} a ， a \leq b \\ b ， a > b \end{array}$ ，若 $f (x) = 2 - x^{2}$ ， $g (x) = x^{2} - 2$ ，下列关于函数 $F (x) = \min {f (x) ， g (x)}$ 的说法正确的是（）

A、函数 $F (x)$ 是偶函数 B、方程 $F (x) = 0$ 有两个实数根 C、函数 $F (x)$ 在 $(- \sqrt{2} ， 0)$ 上单调递增，在 $(0 ， \sqrt{2})$ 上单调递减 D、函数 $F (x)$ 有最大值为0，无最小值

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三、填空题

13. 求值： $\log_{4} 16 + 16^{\frac{1}{2}} =$ .

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14. 若关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - 2 a x + a \leq 0$ 的解集为 $\emptyset$ ，则实数 $a$ 的取值范围是.

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15. 用二分法计算 $f (x) = x^{3} + x^{2} - 2 x - 2$ 的一个正数零点附近的函数值，参考数据如下：

$f (1) = 2$

$f (1.5) = 0.625$

$f (1.25) = - 0.984$

$f (1.375) = - 0.260$

$f (1.4375) = 0.162$

$f (1.4065) = - 0.054$

那么方程 $x^{3} + x^{2} - 2 x - 2 = 0$ 的一个近似根(精确到0.1)为.

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16. $\log_{a} x$ 中的 $x$ ， $a$ 要分别满足 $x > 0$ ， $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，小明同学不知道为什么，请你帮他解释为.

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四、解答题

17. 设函数 $f (x) = \sqrt{2 x - 3}$ 的定义域为集合 $M$ ，不等式 $x^{2} - 4 x + 3 > 0$ 的解集为 $N$ .

(1)、求集合 $M$ ， $N$ ；

(2)、求集合 $M \cap N$ ， $M \cup N$ ；

(3)、写出集合( $M \cap N$ )与( $M \cup N$ )的关系.

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18. 已知 $f (x) = \sqrt{x}$ .

(1)、求证： $f (x)$ 在 $[0 ， + \infty)$ 上是增函数；

(2)、① $a ， b \in R^{+}$ ，猜想 $\sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}}$ 与 $\frac{a + b}{2}$ 的大小关系；
②证明①的猜想的结论；

③求函数 $\sqrt{x^{2} - x + \frac{1}{2}}$ $(0 < x < 1)$ 的最值.

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19. 若函数 $f (x) = | x - 2 |$ .

(1)、在给定的平面直角坐标系中画出函数 $f (x)$ 图象；

(2)、写出函数 $f (x)$ 的值域､单调区间；

(3)、在① $\frac{1}{5} x + 2$ ，② $x - 3$ ，③ $x + 2$ 这三个式子中任选出一个使其等于 $h (x)$ ，求不等式 $f (x) > h (x)$ 的解集.

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20. 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列政策提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型： $y = y_{0} e^{r t}$ ，其中 $t$ 表示经过的时间， $y_{0}$ 表示 $t = 0$ 时的人口数， $r$ 表示人口的年平均增长率.

(1)、根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末､1959年末的人口总数大约分别为5.5亿和6.7亿.根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在1950~1959年期间的具体人口增长模型．(精确到0.0001)

(2)、以（1）中的模型作预测，大约在哪一年我国人口总数达到13亿？(参考数据： $\ln 67 = 4.2047$ ， $\ln 55 = 4.0073$ ， $\ln 13 = 2.5649$ ， $\ln 6.7 = 1.9021$ ， $\ln 5.5 = 1.7047$ )

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21. 已知定义域为R的函数 $f (x) = \frac{2^{x}}{2^{x} + a} - \frac{1}{2}$ 是奇函数.

(1)、求实数a的值；

(2)、判断函数f（x）的单调性，并用定义加以证明；

(3)、若对任意的x $\in$ [1，2]，不等式 $f (x^{2} - m x) + f (x^{2} + 4) > 0$ 成立，求实数m的取值范围.

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22. 如图， $Δ O A B$ 是边长为2的正三角形，记 $Δ O A B$ 位于直线 $x = t (t > 0)$ 左侧的图形的面积为 $f (t)$ .

(1)、求函数 $f (t)$ 解析式；

(2)、画出函数 $y = f (t)$ 的图像；

(3)、当函数 $g (t) = f (t) - a t$ 有且只有一个零点时，求 $a$ 的值.

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$f (1) = 2$	$f (1.5) = 0.625$	$f (1.25) = - 0.984$
$f (1.375) = - 0.260$	$f (1.4375) = 0.162$	$f (1.4065) = - 0.054$