福建省三明市三地三校2020-2021学年高一上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2021-09-09 类型：期中考试

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一、单选题

1. 不等式 $(x - 3) (x + 5) < 0$ 的解集是（）

A、 ${x | - 5 < x < 3}$ B、 ${x | x < - 5$ 或 $x > 3}$ C、 ${x | - 3 < x < 5}$ D、 ${x | x < - 3$ 或 $x > 5}$

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2. 函数 $y = (2 m - 1) x + b$ 在 $R$ 上是减函数．则（　　）

A、 $m > \frac{1}{2}$ B、 $m < \frac{1}{2}$ C、 $m > - \frac{1}{2}$ D、 $m < - \frac{1}{2}$

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3. 计算 ${(\frac{9}{4})}^{\frac{1}{2}} =$ （）

A、 $\frac{81}{16}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{9}{8}$ D、 $\frac{2}{3}$

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4. 已知某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……依此类推，那么1个这样的细胞分裂3次后，得到的细胞个数为（）

A、4个 B、8个 C、16个 D、32个

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5. 函数 $y = \log_{2} | x |$ 的图像大致是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 函数 $y = a^{x - 1}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）恒过定点（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 1)$ C、 $(1 ， 0)$ D、 $(2 ， 1)$

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7. 已知 $x > 0 ， y > 0$ ，且 $x + y = 4$ ，则 $x y$ 最大值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 若函数 $y = x^{2} + (2 a - 1) x + 1$ 在区间 $(- \infty ， 2]$ 上是减函数，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- \frac{3}{2} ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - \frac{3}{2}]$ C、 $[\frac{5}{2} ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， \frac{5}{2}]$

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二、多选题

9. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 2 x = 0}$ ，则有（）

A、 $\emptyset \subseteq A$ B、 $- 2 \in A$ C、 ${0, 2} \subseteq A$ D、 $A \subseteq {y | y < 3}$

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10. 选出下列正确的不等式（）

A、 $3^{0.8} < 3^{0.9}$ B、 ${0.98}^{- 2} < {0.98}^{2}$ C、 $\log_{2} 3.5 < \log_{2} 8.8$ D、 $\log_{0.6} 1.8 > \log_{0.6} 2.7$

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11. 下列说法正确的是（）

A、命题“ $\forall x \in R ， x^{2} > - 1$ ”的否定是“ $\exists x \in R ， x^{2} < - 1$ ” B、命题“ $\exists x \in (- 3 ， + \infty) ， x^{2} \leq 9$ ”的否定是“ $\forall x \in (- 3 ， + \infty) ， x^{2} > 9$ ” C、“ $x^{2} > y^{2}$ ”是“ $x > y$ ”的必要而不充分条件 D、“ $m < 1$ ”是“关于x的方程 $x^{2} - 2 x + m = 0$ 有两个不相等的实数根”的充要条件

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12. 已知 $a ， b ， c ， m \in R$ ，则下列推证中不正确的是（）

A、 $a > b \Rightarrow a m^{2} > b m^{2}$ B、 $\frac{a}{c} > \frac{b}{c} \Rightarrow a > b$ C、 $a c^{2} > b c^{2} \Rightarrow a > b$ D、 $a^{2} > b^{2} ， a b > 0 \Rightarrow \frac{1}{a} < \frac{1}{b}$

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三、填空题

13. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} ， x < 1 \\ x - 1 ， x \geq 1 \end{array}$ ，则 $f (- 4) =$ ．

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14. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x \in (- \infty ， 0)$ 时， $f (x) = 2 x^{3} + x^{2}$ ，则 $f (2) =$ .

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15. 已知幂函数y=f（x）的图象过点（2， $\sqrt{2}$ ），则f（9）= ．

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16. 若函数 $f (x) = \frac{1}{3^{x} + 1} + a$ 是奇函数，则a= ．

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四、解答题

17. 已知 $f (x) = 2^{x} + \sqrt[4]{2} \times 8^{0.25}$ ， $g (x) = \log_{3} x + \log_{5} 100 + \log_{5} 0.25$ ．

(1)、求 $f (2)$ 、 $g (9)$ 的值；

(2)、求 $f [g (3)]$ 的值．

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18. 已知集合 $A = {x | 2 - a \leq x \leq 2 + a}$ ， $B = {x | x \leq 1$ 或 $x \geq 4}$ ．

(1)、当 $a = 3$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、若 $a > 0$ ，且“ $x \in A$ ”是“ $x \in ∁_{R} B$ ”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} {(\frac{1}{2})}^{x} ， x \geq 0 \\ x + 1 ， x < 0 \end{array}$

(1)、在给出的坐标系中画出函数 $f (x)$ 的图象．

(2)、根据图象写出函数的单调区间和值域．

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20. 已知函数 $f (x) = (m - 2) x - \frac{1}{x}$

(1)、若函数 $y = f (x)$ 的图象过点 $P (1 ， 1)$ ．求实数m的值，并证明函数 $f (x)$ 为奇函数；

(2)、若 $m = 2$ ，用单调性的定义证明函数 $y = f (x)$ 在 $(- \infty ， 0)$ 上单调递增．

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21. 一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费 $y_{1}$ （单位：万元）与仓库到车站的距离x（单位： $km$ ）成反比，每月库存货物费 $y_{2}$ （单位：万元）与x成正比；若在距离车站 $4km$ 处建仓库，则 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 分别为5万元和3.2万元，这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？

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22. 设函数 $f (x) = \log_{a} (1 + x) + \log_{a} (3 - x) (a > 0 ， a \neq 1)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的定义域

(2)、若 $f (1) = 2$ ，求函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{3}{2}]$ 上的最大值．

(3)、解不等式： $\log_{a} (1 + x) > \log_{a} (3 - x)$ ．

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