福建省福州市八县（市）协作校2020-2021学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-09-09 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | x \leq 1}$ ， $B = {x | x^{2} - 2 x = 0}$ ，则图中的阴影部分表示的集合为（）

A、 ${0}$ B、 ${2}$ C、 ${0 ， 2}$ D、 ${1 ， 2}$

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2. 函数 $y = \sqrt{2 x - 1} + \frac{1}{x - 2}$ 的定义域为（）

A、 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ B、 $[\frac{1}{2} ， + \infty)$ C、 $(\frac{1}{2} ， 2) \cup (2 ， + \infty)$ D、 $[\frac{1}{2} ， 2) \cup (2 ， + \infty)$

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3. 下列函数中，在区间 $(0 ， 3)$ 上是增函数的是（）

A、 $y = 3 - 2 x$ B、 $y = \frac{1}{x}$ C、 $y = x^{\frac{1}{2}}$ D、 $y = x^{2} - 2 x - 15$

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4. 设 $a ， b \in R$ ，则“ $a > b > 0$ ”是“ $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 下列四组函数中，表示相等函数的一组是（）

A、f（x）=|x|， $g (x) = \sqrt{x^{2}}$ B、 $f (x) = \sqrt{x^{2}}$ ， $g (x) = {(\sqrt{x})}^{2}$ C、 $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ ，g（x）=x+1 D、 $f (x) = \sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x - 1}$ ， $g (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$

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6. 若 $0 < a < 1$ ，则不等式 $(a - x) (x - \frac{1}{a}) > 0$ 的解集是（）

A、 $(\frac{1}{a} ， a)$ B、 $(a ， \frac{1}{a})$ C、 $(- \infty ， \frac{1}{a}) \cup (a ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， a) \cup (\frac{1}{a} ， + \infty)$

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7. 若定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 在 $[0 ， + \infty)$ 上是减函数，则下列各式一定成立的是（）

A、 $f (0) < f (6)$ B、 $f (- 3) > f (2)$ C、 $f (- 1) > f (3)$ D、 $f (- 5) < f (- 8)$

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8. 若函数 $y = x^{2} - 6 x + 5$ 的定义域为 $[0 ， m]$ ，值域为 $[- 4 ， 5]$ ，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[0 ， 3]$ B、 $[0 ， 6]$ C、 $(0 ， 6]$ D、 $[3 ， 6]$

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9. 下列结论正确的是（）

A、当 $x > 1$ 时， $\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} \geq 2$ B、当 $x \neq 0$ 时， $x + \frac{1}{x}$ 的最小值是2 C、当 $x < \frac{5}{4}$ 时， $4 x - 2 + \frac{1}{4 x - 5}$ 的最小值是5 D、设 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $x + y = 2$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{4}{y}$ 的最小值是 $\frac{9}{2}$

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二、多选题

10. 下列说法错误的是（）

A、命题“ $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{2} + 3 x_{0} + 2 \leq 0$ ”的否定是“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 3 x + 2 > 0$ ” B、若 $a < b$ ，则 $a m^{2} < b m^{2}$ C、 $f (x) = \frac{1}{x}$ 的单调减区间为 $(- \infty ， 0) \cup (0 ， + \infty)$ D、函数 $y = f (x)$ 的图象与 $y$ 轴的交点至多有 $1$ 个

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11. 对于函数 $f (x) = x + \frac{9}{x}$ ，则下列判断正确的是（）

A、 $f (x)$ 在定义域内是奇函数 B、函数 $f (x)$ 的值域是 $(- \infty ， - 6] \cup [6 ， + \infty)$ C、 $\forall x_{1} ， x_{2} \in (0 ， 3)$ ， $x_{1} \neq x_{2}$ ，有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ D、对任意 $x_{1} ， x_{2} \in (0 ， + \infty)$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) < \frac{1}{2} [f (x_{1}) + f (x_{2})]$

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12. 1837年，德国数学家狄利克雷(P.G.Dirichlet，1805-1859)第一个引入了现代函数概念：“如果对于 $x$ 的每一个值， $y$ 总有一个完全确定的值与之对应，那么 $y$ 是 $x$ 的函数”.由此引发了数学家们对函数性质的研究.下面是以他的名字命名的“狄利克雷函数”： $D (x) = {\begin{array}{l} 1 ， x \in Q \\ 0 ， x \in ∁_{R} Q \end{array}$ (Q表示有理数集合)，关于此函数，下列说法正确的是（）

A、 $D (x)$ 是偶函数 B、 $\forall x \in R ， D (D (x)) = 1$ C、对于任意的有理数 $t$ ，都有 $D (x + t) = D (x)$ D、存在三个点 $A (x_{1} ， D (x_{1})) ， B (x_{2} ， D (x_{2})) ， C (x_{3} ， D (x_{3}))$ ，使 $△ A B C$ 为正三角形

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三、填空题

13. $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 1 ， x \leq 0 \\ - 2 x ， x > 0 \end{array}$ ，若 $f (x) = 10$ ，则 $x =$ .

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14. 正实数 $x$ ､ $y$ 满足 $x + 2 y = 1$ ，则 $x y$ 的最大值为.

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15. 已知函数 $f (x) = x^{2} + 2 (k - 1) x + 4$ 在区间 $[2 ， 4]$ 上不单调，则实数 $k$ 的取值范围是.

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16. 有同学在研究函数的奇偶性时发现，命题“函数 $y = f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数”可推广为：“函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a ， b)$ 成中心对称的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数”.据此，对于函数 $g (x) = {(x - \frac{1}{2})}^{3} + 2 x$ ，可以判定：

(1)、函数 $g (x) = {(x - \frac{1}{2})}^{3} + 2 x$ 的对称中心是.

(2)、 $g (\frac{1}{2021}) + g (\frac{2}{2021}) + g (\frac{3}{2021}) + \dots + g (\frac{2018}{2021}) + g (\frac{2019}{2021}) + g (\frac{2020}{2021}) =$ .

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四、解答题

17. 在① $A \cup B = A$ ；②“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的充分不必要条件；③ $(∁_{R} A) \cap B = B$ ；三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答：
设全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | x^{2} - 3 x - 10 < 0}$ ，集合 $B = {x | 2 - a \leq x \leq 2 a + 1}$ ， $C = {x | - 3 < x < 3}$

(1)、求 $(∁_{R} A) \cup C$ ；

(2)、若 ▲ ，求实数 $a$ 的取值范围.
注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分.

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18. 设 $f (x) = a x^{2} + (a + 1) x + b ， (a \in R)$ .

(1)、若关于 $x$ 不等式 $f (x) < 0$ 的解集是 ${x | - 5 < x < 1}$ ，求 $a + b$ 的值；

(2)、若当 $b = 1$ 时关于 $x$ 不等式 $f (x) \leq x$ 的解集为 $\emptyset$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 已知 $f (x) = \min {x ， x^{2} - 2 x}$ ( $\min {a ， b}$ 表示数 $a ， b$ 中的较小者).

(1)、将函数 $f (x)$ 改写成分段函数形式；

(2)、在如图所示的平面直角坐标系中，作出函数 $y = f (x)$ 的图象；

(3)、根据（2）中函数 $y = f (x)$ 的图象，写出函数 $y = f (x)$ 在 $(0 ， 6]$ 上的单调区间与最值.

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{a x + b}{x^{2} + 1}$ 是定义在 $(- 1 ， 1)$ 上的奇函数，且 $f (2) = \frac{4}{5}$

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断函数 $f (x)$ 在 $(- 1 ， 1)$ 上的单调性，并用定义法加以证明；

(3)、解关于 $t$ 的不等式 $f (2 t + 1) + f (t - \frac{1}{2}) < 0$ .

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21. 佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器.生产这种机器的月固定成本为 $400$ 万元，每生产 $x$ 台，另需投入成本 $p (x)$ （万元），当月产量不足70台时， $p (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 40 x$ （万元）；当月产量不小于70台时， $p (x) = 101 x + \frac{6400}{x} - 2060$ （万元）.若每台机器售价 $100$ 万元，且该机器能全部卖完.

(1)、求月利润 $y$ （万元）关于月产量 $x$ （台）的函数关系式；

(2)、月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润.

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22. 对于函数 $y = g (x)$ ，若 $\exists x_{0} \in R$ ，使 $g (x_{0}) = m x_{0}$ 成立，则称 $x_{0}$ 为 $g (x)$ 关于参数 $m$ 的不动点.设函数 $f (x) = a x^{2} + (b + 1) x + b - 1$ $(a \neq 0)$

(1)、当 $a = 1 ， b = - 3$ 时，求 $f (x)$ 关于参数1的不动点；

(2)、若 $\forall b \in R$ ，函数 $f (x)$ 恒有关于参数1的两个不动点，求 $a$ 的取值范围；

(3)、当 $a = 1 ， b = 2$ 时，函数 $f (x)$ 在 $x \in (0 ， 2]$ 上存在两个关于参数 $m$ 的不动点，试求参数 $m$ 的取值范围.

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