浙江省强基联盟2020-2021学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-09-09 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设全集 $U = {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ，集合 $A = {0 ， 1 ， 2}$ ，集合 $B = {2 ， 3}$ ，则 $(∁_{U} A) \cup B =$ （）．

A、 $\emptyset$ B、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4}$ C、 ${2 ， 3 ， 4}$ D、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4}$

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2. 已知直线 $a x + y - 1 = 0$ 与直线 $x + a y - 1 = 0$ 互相垂直，则 $a =$ （）．

A、1或-1 B、1 C、-1 D、0

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3. 已知向量 $\vec{a}$ =（3cosα，2）与向量 $\vec{b}$ =（3，4sinα）平行，则锐角α等于（　　）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{12}$

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4. 三条不重合的直线 $a$ ， $b$ ， $c$ 及三个不重合的平面 $α$ ， $β$ ， $γ$ ，下列命题正确的是（）．

A、若 $a // α$ ， $a // β$ ，则 $α // β$ B、若 $α \cap β = a$ ， $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ ，则 $a ⊥ γ$ C、若 $a \subset α$ ， $b \subset α$ ， $c \subset β$ ， $c ⊥ a$ ， $c ⊥ b$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $α \cap β = a$ ， $c \subset γ$ ， $c // α$ ， $c // β$ ，则 $a // γ$

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5. 已知 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b} < 0$ ，给出下列四个不等式：① $| a | > | b |$ ；② $a < b$ ；③ $a + b < a b$ ；④ $a^{3} > b^{3}$ 其中不正确的不等式个数是（）．

A、0 B、1 C、2 D、3

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6. 如图，已知正方形 $A B C D$ 和正方形 $A B E F$ 所在平面成60°的二面角，则直线 $B D$ 与平面 $A B E F$ 所成角的正弦值为（）．

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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7. 已知函数 $f (x) = A \sin (\frac{π}{3} x + \frac{π}{6}) (A > 0)$ 在它的一个最小正周期内的图像上，最高点与最低点的距离是5，则 $A$ 等于（）．

A、1 B、2 C、2.5 D、4

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8. 已知函数 $f (x) = \lg (x^{2} - | x | + 1)$ ，若函数 $f (x)$ 在开区间 $(t ， t + 1) (t \in R)$ 上恒有最小值，则实数 $t$ 的取值范围为（）．

A、 $(- \frac{3}{2} ， - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2})$ B、 $(- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2} ， \frac{3}{2})$ C、 $(- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2})$ D、 $(\frac{1}{2} ， \frac{3}{2})$

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9. 已知向量是单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ，且 $| \vec{c} - \vec{a} | + | \vec{c} - 2 \vec{b} | = \sqrt{5}$ ，则 $| \vec{c} + 2 \vec{a} |$ 的取值范围是（）

A、 $[1 ， 3]$ B、 $[2 \sqrt{2} ， 3]$ C、 $[\frac{6 \sqrt{5}}{5} ， 2 \sqrt{2}]$ D、 $[\frac{6 \sqrt{5}}{5} ， 3]$

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10. 已知 $f (x) = x^{2}$ ， $g (x) = | x - 1 |$ ，令 $f_{1} (x) = g (f (x))$ ， $f_{n + 1} (x) = g (f_{n} (x))$ ，则函数 $φ (x) = f_{2020} (x) - 1$ 的零点个数为（）．

A、2019 B、2020 C、2021 D、2022

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二、填空题

11. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = 3$ ， $a_{5} = - 11$ ，则 $a_{3} =$ ， $S_{5} =$ ．

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12. 若 $x \log_{3} 2 = 1$ ，则 $2^{x} + 2^{- x}$ 的值为；若 $0 < \log_{a} \frac{3}{4} < 1$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ），则实数 $a$ 的取值范围为．

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13. 在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知b＝1，c＝2且2cosA（bcosC+ccosB）＝a，则A＝；若M为边BC的中点，则|AM|＝

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14. 某空间几何体的三视图（单位： $c m$ ）如图所示，则其体积是 $c m^{3}$ ，表面积是 $c m^{2}$ ．

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15. 已知变量 $x$ ， $y$ 满足 ${\begin{array}{l} x - 4 y + 3 \leq 0 \\ x + y - 4 \leq 0 \\ x \geq 1 \end{array}$ ，则点 $(x ， y)$ 对应的区域的 $\frac{x^{2} + y^{2}}{2 x y}$ 的最大值为．

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16. 若实数 $m$ 和 $n$ 满足 $2 \times 4^{m} - 2^{m} \cdot 3^{n} + 2 \times 9^{n} = 2^{m} + 3^{n} + 1$ ，则 $2^{m} + 3^{n}$ 的取值范围为．

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17. 如图，已知平面四边形 $A B C D$ ， $A B = B C = 3$ ， $C D = 1$ ， $A D = \sqrt{5}$ ， $∠ A D C = 90 °$ .沿直线 $A C$ 将 $△ A C D$ 翻折成 $△ A C D'$ ，直线 $A C$ 与 $B D'$ 所成角的余弦的最大值是.

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18. 如图所示，平面ABCD⊥平面BCE，四边形ABCD为矩形，BC＝CE，点F为CE的中点．

(1)、证明：AE∥平面BDF.

(2)、点M为CD上任意一点，在线段AE上是否存在点P，使得PM⊥BE？若存在，确定点P的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．

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19. 已知向量 $\vec{m} = (\sin A ， \cos A)$ ， $a > 1$ ， $\vec{m} \cdot \vec{n} = 1$ ，且 $A$ 为锐角．
（Ⅰ）求 $∠ A$ 的大小；

（Ⅱ）函数 $f (x) = \cos 2 x + 4 \cos A \sin x (x \in R)$ ，若 $| f (x) - t | | \leq 3$ 恒成立，求实数 $t$ 的范围．

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20. 已知圆 $C$ 经过点 $A (1 ， 3)$ 、 $B (2 ， 2)$ ，并且直线 $m$ ： $3 x - 2 y = 0$ 平分圆 $C$ .
（Ⅰ）求圆 $C$ 的方程；

（Ⅱ）若过点 $D (0 ， 1)$ ，且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与圆 $C$ 有两个不同的交点 $M ， N$ .

（ⅰ）求实数 $k$ 的取值范围；

（ⅱ）若 $\vec{O M} \cdot \vec{O N} = 12$ ，求 $k$ 的值.

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21. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n} + a_{n} = n (n \in N^{*})$ ．
（Ⅰ）证明 ${a_{n} - 1}$ 为等比数列并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）设 $b_{n} = (2 n - 1) (1 - a_{n})$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ ；

（Ⅲ）求证： $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + \dots + \frac{1}{a_{n}} < n + 2$ ．

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} + 4 | x - a | (x \in R)$ ．
（Ⅰ）存在实数 $x_{1} ， x_{2} \in [- 1 ， 1]$ 使得 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围；

（Ⅱ）对任意的 $x_{1} ， x_{2} \in [- 1 ， 1]$ 都有 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | \leq k$ 成立，求实数 $k$ 的最小值．

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