山西省大同市第四校2020-2021学年高二上学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2021-09-09 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知直线 $l_{1}$ ： $3 m x + (m + 2) y + 3 = 0$ ， $l_{2}$ ： $(m - 2) x + (m + 2) y + 2 = 0$ ，且 $l_{1} // l_{2}$ ，则 $m$ 的值为（）

A、-1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ 或-2 D、-1或-2

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2. 若坐标原点在圆 $x^{2} + y^{2} - 2 m x + 2 m y + 2 m^{2} - 4 = 0$ 的内部，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- 1 ， 1)$ B、 $(- \frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ C、 $(- \sqrt{3} ， \sqrt{3})$ D、 $(- \sqrt{2} ， \sqrt{2})$

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3. 圆O₁：x²＋y²－4x－6y＋12＝0与圆O₂：x²＋y²－8x－6y＋16＝0的位置关系是 (　　)

A、内切 B、外离 C、内含 D、相交

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4. 已知 $a ， b ， c$ 是两两不同的三条直线，下列说法正确的是（）

A、若直线 $a ， b$ 异面， $b ， c$ 异面，则 $a ， c$ 异面 B、若直线 $a ， b$ 相交， $b ， c$ 异面，则 $a ， c$ 相交 C、若 $a / / b$ ，则 $a ， b$ 与 $c$ 所成的角相等 D、若 $a ⊥ b ， b ⊥ c$ ，则 $a / / c$

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5. 若圆锥轴截面是等边三角形且轴截面的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，则圆锥的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3} π$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3} π$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3} π$ D、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3} π$

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6. 已知圆 $C$ ： ${(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 8$ 与直线 $l$ 切于点 $P (1, 1)$ ，则直线 $l$ 的方程是（）

A、 $x - y = 0$ B、 $2 x - y - 1 = 0$ C、 $x + y - 2 = 0$ D、 $x + y + 2 = 0$

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7. 平面 $α$ 截球 $O$ 所得截面的面积为 $4 π$ ，球心 $O$ 到截面的距离为 $\sqrt{2}$ ，此球的体积为（）

A、 $\sqrt{6}$ $π$ B、 $4 \sqrt{3}$ $π$ C、 $8 \sqrt{6}$ $π$ D、 $12 \sqrt{3}$ $π$

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8. 直线 $l$ 与平面 $α$ 内的两条直线都垂直，则直线 $l$ 与平面 $α$ 的位置关系是（）

A、平行 B、垂直 C、在平面 $α$ 内 D、无法确定

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9. 某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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10. 若三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥ P B$ ， $P B ⊥ P C$ ， $P C ⊥ P A$ ，且 $P A = 1$ ， $P B = 2$ ， $P C = 3$ ，则该三棱锥外接球的表面积为（）

A、 $\frac{7 π}{2}$ B、 $14 π$ C、 $28 π$ D、 $56 π$

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11. 三棱锥A－BCD的所有棱长都相等，M，N分别是棱AD，BC的中点，则异面直线BM与AN所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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12. 若x、y满足x²＋y²－2x＋4y－20＝0，则x²＋y²的最小值是(　　)

A、 $\sqrt{5}$ －5 B、5－ $\sqrt{5}$ C、30－10 $\sqrt{5}$ D、无法确定

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二、填空题

13. 一个圆柱侧面展开是正方形，它的高与底面直径的比值是.

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14. 已知正四棱锥的底面边长为 $\sqrt{2}$ ，高为 $\sqrt{3}$ ，则此四棱锥的侧棱与底面所成角的弧度数为.

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15. 如图所示，在圆锥 $S O$ 中， $A B ， C D$ 为底面圆的两条直径， $A B \cap C D = O$ ，且 $A B ⊥ C D$ ， $S O = O B = 2$ ， $P$ 为 $S B$ 的中点，则异面直线 $S A$ 与 $P D$ 所成角的正切值为.

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16. 四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB＝2，BC＝CD＝1，∠BCD＝60°，AB⊥平面BCD，则球O的表面积为．

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三、解答题

17. 如图所示，等腰直角三角形ABC中， $∠ B A C = 90^{\circ}$ ， $B C = \sqrt{2}$ ， $D A ⊥ A C$ 于点A， $D A ⊥ A B$ 于点A，若 $D A = 1$ ，且E，F为DA，AC的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值.

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18. 已知直线 $l$ 的倾斜角为 $135 °$ 且经过点 $P (1 ， 1)$ .

(1)、求直线 $l$ 的方程；

(2)、求点 $A (3 ， 4)$ 关于直线 $l$ 的对称点 $A^{'}$ 的坐标.

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19. 已知圆C：x²+y²﹣4x＝0．

(1)、直线l的方程为 $x - \sqrt{3} y = 0$ ，直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的值；

(2)、从圆C外一点P（4，4）引圆C的切线，求此切线方程．

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20. 已知圆经过点 $A (1, 0)$ 和 $B (- 1, - 2)$ ，且圆心在直线 $l : x - y + 1 = 0$ 上.

(1)、求圆的标准方程；

(2)、若线段 $C D$ 的端点 $D$ 的坐标是 $(4, 3)$ ，端点 $C$ 在圆 $C$ 上运动，求 $C D$ 的中点 $M$ 的轨迹方程.

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21. 在三棱锥 $S - A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ， $S A ⊥$ 面 $A B C$ ， $A C = 8$ ， $B C = \sqrt{13} ， S B = \sqrt{29}$ .

(1)、证明 $S C ⊥ B C$ ；

(2)、求点C到平面SAB的距离.

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22. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，设 $E$ 为 $P D$ 的中点．

(1)、证明： $P B / /$ 平面 $A E C$ ；

(2)、设异面直线 $B P$ 与 $C D$ 所成角为45°， $A P = 1 ， A D = \sqrt{3}$ ，求三棱锥 $E - A C D$ 的体积．

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