高中数学人教A版（2019）选择性必修一第二章直线和圆的方程单元测试

试卷更新日期：2021-09-08 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 已知两点 $A (1 ， \sqrt{3})$ 和 $B (- 2 ， 0)$ ，则直线 $A B$ 的倾斜角为（）

A、30° B、60° C、120° D、150°

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2. 若点 $P (1 ， 1)$ 在圆 $C ： x^{2} + y^{2} + x - y + k = 0$ 的外部，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(- 2 ， + \infty)$ B、 $[- 2 ， - \frac{1}{2})$ C、 $(- 2 ， \frac{1}{2})$ D、 $(- 2 ， 2)$

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3. 已知直线 $l_{1} ： y = 3 x - 2$ ，直线 $l_{2} ： 6 x - 2 y + 1 = 0$ ，则 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 之间的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{4}$

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4. 已知 $M$ 为圆 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 2$ 上一动点，则点 $M$ 到直线 $x - y + 3 = 0$ 的距离的最大值是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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5. 已知直线 $l$ 经过点 $O (0 ， 0)$ ，且点 $A (0 ， 4)$ ， $B (2 ， 0)$ 到 $l$ 的距离相等，则 $l$ 被经过 $O$ ， $A$ ， $B$ 三点的圆所截得的弦长为（）

A、 $\frac{6 \sqrt{5}}{5}$ 或 $2 \sqrt{5}$ B、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ 或 $2 \sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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6. 圆 $x^{2} + y^{2} + 4 y = 0$ 的圆心到经过点 $M (- 3, - 3)$ 的直线l的距离为 $\sqrt{5}$ ，则直线 $l$ 的方程为（）

A、 $x + 2 y - 9 = 0$ 或 $2 x - y + 3 = 0$ B、 $x + 2 y + 9 = 0$ 或 $2 x - y + 3 = 0$ C、 $x + 2 y + 9 = 0$ 或 $2 x - y - 3 = 0$ D、 $x - 2 y + 9 = 0$ 或 $2 x - y + 3 = 0$

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7. 直线 $2 a x - b y + 2 = 0$ 被 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y - 4 = 0$ 截得弦长为6，则ab的最大值是（）

A、9 B、4 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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8. 已知圆 $C : {(x - m)}^{2} + {(y - 2 m + 1)}^{2} = 2 m^{2}$ ，有下列四个命题：
①一定存在与所有圆都相切的直线；②有无数条直线与所有的圆都相交；③存在与所有圆都没有公共点的直线；④所有的圆都不过原点.其中正确的命题个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、多选题

9. 设直线l经过点 $A (2, 1)$ ，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为（）

A、 $x - 2 y = 0$ B、 $x + y - 3 = 0$ C、 $x - y - 1 = 0$ D、x+2y=0

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10. 下列说法中，正确的有（）

A、过点 $P (1, 2)$ 且在 $x$ ， $y$ 轴截距相等的直线方程为 $x + y - 3 = 0$ B、直线 $y = 3 x - 2$ 在 $y$ 轴上的截距为 $- 2$ C、直线 $x - \sqrt{3} y + 1 = 0$ 的倾斜角为 $60 °$ D、过点 $(5, 4)$ 并且倾斜角为 $90 °$ 的直线方程为 $x - 5 = 0$

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11. 已知直线 $l : k x + y = 0$ 与圆 $M : x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y + 1 = 0$ ，则下列说法中正确的是（）

A、直线l与圆M一定相交 B、若 $k = 0$ ，则直线l与圆M相切 C、当 $k = - 1$ 时，直线l与圆M的相交弦最长 D、圆心M到直线l的距离的最大值为 $\sqrt{2}$

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12. 已知圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - k x + 2 y + \frac{1}{4} k^{2} - k + 1 = 0$ ，下列说法正确的是（）

A、 $k$ 的取值范围是 $k > 0$ B、若 $k = 4$ ，过 $M (3, 4)$ 的直线与圆 $C$ 相交所得弦长为 $2 \sqrt{3}$ ，方程为 $12 x - 5 y - 16 = 0$ C、若 $k = 4$ ，圆 $C$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 相交 D、若 $k = 4$ ， $m > 0$ ， $n > 0$ ，直线 $m x - n y - 1 = 0$ 恒过圆 $C$ 的圆心，则 $\frac{1}{m} + \frac{2}{n} \geq 8$ 恒成立

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三、填空题

13. 已知 $△ A B C$ 三个顶点的直角坐标为分别为 $A (0 ， 2)$ ， $B (4 ， 0)$ ， $C (- 1 ， - 1)$ ，则 $A B$ 边上的中线 $C M$ 所在的直线方程为.

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14. 已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 1$ ，圆 $C_{2} : {(x - 4)}^{2} + y^{2} = 25$ ，则两圆公切线的方程为.

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15. 直线 $l$ 经过点 $P (1 ， 2 \sqrt{3})$ ，且分别与直线 $l_{1} ： \sqrt{3} x - y + 1 = 0$ 和 $l_{2} ： \sqrt{3} x - y - 3 = 0$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $| A B | = 4$ ，则直线 $l$ 的方程为．

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16. 已知圆 $C : x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 y + 1 = 0$ ，点 $P$ 是直线 $x - y + 1 = 0$ 的一动点， $A B$ 是圆 $C$ 的一条直径，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的最小值等于.

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四、解答题

17. 已知△ABC的内角平分线CD的方程为 $2 x + y - 1 = 0$ ，两个顶点为A(1，2)，B(﹣1，﹣1)．

(1)、求点A到直线CD的距离；

(2)、求点C的坐标．

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18. 已知 $⊙ O$ 圆心在直线 $y = x + 2$ 上，且过点 $A (1 ， 0)$ 、 $B (2 ， 1)$ ．

(1)、求 $⊙ O$ 的标准方程；

(2)、已知过点 $(3 ， 1)$ 的直线 $l$ 被所截得的弦长为4，求直线 $l$ 的方程．

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19. 已知圆C的圆心为 $(2 ， 0)$ ，且与直线 $5 x - 12 y + 3 = 0$ 相切，

(1)、求该圆的方程；

(2)、若点P在圆C上运动，求 $2 x + y$ 的最大值和最小值.

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20. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 3$ ，过点 $P (- 3 ， 0)$ 的直线与圆 $O$ 相交于不同的两点 $A$ ， $B$ .

(1)、求 $△ O A B$ 面积的最大值；

(2)、若 $| A B | = 2 \sqrt{2}$ ，求直线 $A B$ 的方程.

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21. 已知圆C过点 $(1 ， 0)$ ，且与圆 $x^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ 外切于点 $(0 ， 1)$ ，点 $P (m ， 0) (m \neq 0)$ 是x轴上的一个动点.

(1)、求圆C的标准方程；

(2)、当圆C上存在点Q，使 $∠ O P Q = 30 °$ ，其中O为坐标原点，求实数m的取值范围.

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22. 已知圆 $C$ 和 $y$ 轴相切于点 $T (0 ， 2)$ ，与 $x$ 轴的正半轴交于 $M$ 、 $N$ 两点（ $M$ 在 $N$ 的左侧），且 $M N = 3$ .
（Ⅰ）求圆 $C$ 的方程；

（Ⅱ）过点 $M$ 任作一条直线与圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 4$ 相交于点 $A$ 、 $B$ ，连接 $A N$ 和 $B N$ ，记 $A N$ 和 $B N$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，求证： $k_{1} + k_{2}$ 为定值.

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二、多选题

三、填空题

四、解答题

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