四川省成都市龙泉驿区2020-2021学年九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-09-07 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列方程中是一元二次方程的是（）

A、 $\frac{1}{x^{2}} - 5 = 0$ B、 $x + 2 y = - 5$ C、 $x^{2} = 5$ D、 $3 x^{2} + x y = 5$

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2. 若反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过点 $(2 ， 1)$ ，则该反比例函数的图象在（）

A、第一、二象限 B、第一、三象限 C、第二、三象限 D、第二、四象限

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3. 如图，正方形 $A B O C$ 的边长为4，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象过点A，则k的值是（）

A、4 B、 $- 4$ C、16 D、 $- 16$

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4. 抛物线 $y = {(x + 3)}^{3} + 5$ 的顶点坐标是（）

A、 $(3 ， 5)$ B、 $(- 3 ， 5)$ C、 $(3 ， - 5)$ D、 $(- 3 ， - 5)$

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5. 方程 $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ 根的情况是（）.

A、有两个相等的实数根 B、只有一个实数根 C、有两个不相等的实数根 D、没有实数根

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6. 一元二次方程 $x^{2} + 4 x - 5 = 0$ 的两根分别为 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2}$ 为（）

A、 $- 4$ B、4 C、5 D、 $- 5$

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7. 点 $A (- 1 ， y_{1})$ ， $B (- 2 ， y_{2})$ 在反比例函数 $y = \frac{3}{x}$ 的图象上，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{1} > y_{2}$ B、 $y_{1} = y_{2}$ C、 $y_{1} < y_{2}$ D、不能确定

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8. 抛物线 $y = 3 x^{2}$ 向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得到的抛物线是（）

A、 $y = 3 {(x - 2)}^{2} + 1$ B、 $y = 3 {(x - 1)}^{2} - 2$ C、 $y = 3 {(x + 2)}^{2} - 1$ D、 $y = 3 {(x - 2)}^{2} - 1$

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9. 如图是二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ）图象的一部分，经过点 $(2 ， 0)$ .一定正确的是（）

A、 $a b c > 0$ B、 $a + b = 0$ C、 $b^{2} - 4 a c < 0$ D、 $4 a + 2 b + c = 0$

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10. 抛物线 $y = {(x + 1)}^{2} - 3$ （ $- 2 \leq x \leq 2$ ），如图所示，则函数y的最小值和最大值分别是（）

A、 $- 2$ 和6 B、 $- 3$ 和6 C、 $- 4$ 和 $- 2$ D、 $- 1$ 和2

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二、填空题

11. 若双曲线 $y = \frac{8}{x}$ 经过点 $(a ， 2)$ ，则 $a =$ .

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12. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} + 5 x + m = 0$ 的一个根是2，则 $m =$ .

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13. 关于x的反比例函数 $y = \frac{m - 2}{x}$ 的图象位于第二、四象限，则m的取值范围是.

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14. 抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x + 5$ 的对称轴是直线.

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15. 已知抛物线 $y = x^{2} - 2 x + n$ 与x轴只有一个公共点，则 $n =$ .

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16. 已知点 $A (a ， b)$ 是一次函数 $y = x - 6$ 与反比例函数 $y = \frac{5}{x}$ 的图象的交点，则 $a b =$ .

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17. 若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是关于x的方程 $x^{2} - (2 k - 3) x + k^{2} = 0$ 的两个实数根，且 $x_{1} ： x_{2} = 1 ： 4$ ，则k的值是.

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18. 如图，抛物线 $y = x^{2} + 4 x$ 与直线 $y = 2 x + 2$ 交于A，B两点，将抛物线沿着射线 $A B$ 平移 $2 \sqrt{5}$ 个单位，平移后的抛物线顶点坐标为.

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19. 如图，在 $R t Δ A B C$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， $A B = 6$ ，直线 $A B$ 经过原点O， $A C$ 交x轴于点D， $C D ： A D = 3 ： 2$ ，若反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 经过A，B两点，则k的值为.

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三、解答题

20. 解方程.

(1)、 $x^{2} + 6 x - 7 = 0$ .

(2)、 $x (x - 1) = 2 (x - 1)$ .

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21. 已知关于x的方程 $x^{2} + (2 k - 1) x + k^{2} - 1 = 0$ 有实数根.

(1)、求k的取值范围.

(2)、当k取最大整数值时，求该方程的解.

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22. 已知二次函数 $y = x^{2} - 6 x + 5$ ，请按照要求画出这个二次函数的草图，要求如下：体现开口方向，并在图中标注对称轴、顶点、与坐标轴的交点.

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23. 如图，已知反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象与一次函数 $y = a x + b$ 相交于 $A (3 ， 2)$ ，B两点，与x轴相交于点 $C (4 ， 0)$ .

(1)、求一次函数和反比例函数的表达式.

(2)、求 $Δ A O B$ 的面积.

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24. 如图，一次函数 $y = - 3 x + 6$ 的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点C在线段 $A B$ 上（不与点A，B重合），过点C分别作 $O A$ ， $O B$ 的垂线，垂足为D，E，设矩形 $C D O E$ 的面积为S，点C的横坐标为x.

(1)、写出S与x的函数关系式.

(2)、当矩形 $C D O E$ 的面积最大时，求点C的坐标.

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25. 如图，一次函数 $y = a x + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象交于 $A (4 ， 4)$ ， $B (m ， - 2)$ 两点.

(1)、求反比例函数与一次函数的关系式.

(2)、C为y轴负半轴上一动点，作 $C D / / A B$ 交x轴交于点D，交反比例函数于点E，当D为 $C E$ 的中点时，求点C的坐标.

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26. 随着新冠疫情得到有效控制，全国各地经济逐步复苏，某超市恢复了正常营业，欲购进一种今年新上市的产品，进价为20元/件.为了调查这种新产品的销路，该超市进行了试销售，得知该产品每天的销售量y（件）与每件的售价x（元）有如下表所示的关系，且已知y与x之间的函数关系是一次函数.

每件售价x（元）	60	55	50	45	…	25
每天销售量y（件）	300	325	350	375	…	475

(1)、求每天的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间的函数关系式.

(2)、该超市规定这种产品每件的售价不得低于25元，且不超过60元，当每件的售价为多少元时，该超市销售这种产品每天的销售利润W（元）最大，最大利润是多少？

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27. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线 $y = a x^{2} - 8 a x + c$ （a，c是常数， $a \neq 0$ ）经过点 $A (8 ， 0)$ ， $B (6 ， - 12)$ .

(1)、求这条抛物线的表达式.

(2)、在第一象限内对称轴上有一点C，满足 $A O = A C$ ，求四边形 $A B O C$ 的面积.

(3)、D为 $O B$ 下方抛物线上一动点，连接 $A D$ ， $B D$ ，若 $△ A B D$ 为直角三角形，求点D的坐标.

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28. 如图，直线 $y = \frac{1}{2} x + 2$ 与y轴交于A，与x轴交于B，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与直线交于A，E两点，与x轴交于C，D两点，且 $C (1 ， 0)$ ， $D (4 ， 0)$ .

(1)、求抛物线的解析式.

(2)、点P为线段 $C D$ 上一点，作 $P Q ⊥ x$ 轴交于 $A E$ 于Q，当 $P Q = E Q$ 时，求点P的坐标.

(3)、作 $E F ⊥ C E$ 交x轴于F，点G是第四象限内抛物线上一点，若以C，D，G为顶点的三角形与 $Δ B E F$ 相似，求出点G的坐标.

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