山东省青岛市黄岛区2020-2021学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-09-07 类型：期中考试

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一、单选题

1. 直线 $x = 2021$ 的倾斜角为（）

A、 $90 °$ B、 $0 °$ C、 $180 °$ D、 $45 °$

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2. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2 ， t) ， \vec{b} = (t ， 1 ， 2)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $t =$ （）

A、1 B、-1 C、 $- \frac{2}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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3. 若直线 $l_{1} ： a x + y + 1 = 0$ 与直线 $l_{2} ： x + a y + 2 a - 1 = 0$ 平行，则实数 $a =$ （）

A、1 B、-1 C、0 D、 $\pm 1$

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4. 已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ，点 $P$ 为线段 $B_{1} C_{1}$ 的中点，则 $\vec{A P} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{A B} + \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{A A_{1}}$ B、 $\vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{A A_{1}}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C} - \vec{A A_{1}}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C} + \vec{A A_{1}}$

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5. 已知二面角 $α - l - β$ 的大小为 $60 °$ ， $A ， B$ 为棱 $l$ 上不同两点， $C ， D$ 分别在半平面 $α ， β$ 内， $A C ， B D$ 均垂直于棱 $l$ ， $A C = B D = 2 A B = 2$ ，则异面直线 $C D$ 与 $A B$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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6. 若过原点的直线 $l$ 与圆 $x^{2} - 4 x + y^{2} + 3 = 0$ 有两个交点，则 $l$ 的倾斜角的取值范围为（）

A、 $(- \frac{π}{3} ， \frac{π}{3})$ B、 $(- \frac{π}{6} ， \frac{π}{6})$ C、 $[0 ， \frac{π}{6}) \cup (\frac{5 π}{6} ， π)$ D、 $[0 ， \frac{π}{3}) \cup (\frac{2 π}{3} ， π)$

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7. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 上两点 $A ， B$ ，若 $A B$ 的中点为 $D$ ，直线 $O D$ 的斜率等于 $1$ ，则直线 $A B$ 的斜率等于（）

A、-1 B、1 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{4}$

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8. 已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 与直线 $\frac{x}{\sqrt{2}} + \frac{y}{\sqrt{2}} = 1$ 交于 $A ， B$ 两点，且 $| A B | = 2 \sqrt{3}$ ，则圆 $O$ 与函数 $f (x) = \ln (x - 1)$ 的图象交点个数为（）个

A、2 B、1 C、0 D、3

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二、多选题

9. 已知直线 $l ： x - m y + m - 1 = 0$ ，则下述正确的是（）

A、直线l的斜率可以等于 $0$ B、直线l的斜率有可能不存在 C、直线l可能过点 $(2 ， 1)$ D、若直线l的横纵截距相等，则 $m = \pm 1$

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10. 已知椭圆 $C$ ： $16 x^{2} + 25 y^{2} = 400$ ，关于椭圆 $C$ 下述正确的是（）

A、椭圆 $C$ 的长轴长为 $10$ B、椭圆 $C$ 的两个焦点分别为 $(0 ， - 3)$ 和 $(0 ， 3)$ C、椭圆 $C$ 的离心率等于 $\frac{3}{5}$ D、若过椭圆 $C$ 的焦点且与长轴垂直的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $P ， Q$ ，则 $| P Q | = \frac{32}{5}$

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11. 已知点 $F_{1} (- 1 ， 0)$ ， $F_{2} (1 ， 0)$ ，动点 $P$ 到直线 $x = 2$ 的距离为 $d$ ， $\frac{| P F_{2} |}{d} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则（）

A、点 $P$ 的轨迹是椭圆 B、点 $P$ 的轨迹曲线的离心率等于 $\frac{1}{2}$ C、点 $P$ 的轨迹方程为 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ D、 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为定值 $4 \sqrt{2}$

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12. 已知四面体 $A B C D$ 的所有棱长均为 $2$ ，则下列结论正确的是（）

A、异面直线 $A C$ 与 $B D$ 所成角为 $60 °$ B、点 $A$ 到平面 $B C D$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ C、四面体 $A B C D$ 的外接球体积为 $\sqrt{6} π$ D、动点 $P$ 在平面 $B C D$ 上，且 $A P$ 与 $A C$ 所成角为 $60 °$ ，则点 $P$ 的轨迹是椭圆

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三、填空题

13. 圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} + 4 x = 0$ 与圆 $C_{2} ： {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 9$ 的位置关系为.

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14. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的离心率等于 $\frac{1}{3}$ ，则实数 $m =$ .

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15. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $1$ ，点 $P$ 为线段 $A C_{1}$ 上一点， $P A = 1$ ，则点 $P$ 到平面 $A B C D$ 的距离为.

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16. 在平面直角坐标系中， $A (1 ， 2)$ ， $D (2 ， 1)$ ，点 $B ， C$ 分别在 $x$ 轴、 $y$ 轴上，则（1） $| A B | + | B D |$ 的最小值是；（2） $| A C | + | C B | + | B D |$ 的最小值是.

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四、解答题

17. 已知 $O$ 为坐标原点，直线 $l ： a x + y - a - 1 = 0$ （ $a \in R$ ），圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 1$ .

(1)、若 $l$ 的倾斜角为 $120 °$ ，求 $a$ ；

(2)、若 $l$ 与直线 $l_{0} ： 2 x - y = 0$ 的倾斜角互补，求直线 $l$ 上的点到圆 $O$ 上的点的最小距离；

(3)、求点 $O$ 到 $l$ 的最大距离及此时 $a$ 的值.

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18. 在平面直角坐标系中，圆 $C$ 过点 $E (1 ， 0)$ 和点 $F (0 ， 1)$ ，圆心 $C$ 到直线 $x + y = 0$ 的距离等于 $\sqrt{2}$ .

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若圆心 $C$ 在第一象限， $M$ 为圆 $C$ 外一点，过点 $M$ 作圆 $C$ 的两条切线，切点分别为 $A$ 、 $B$ ，四边形 $M A C B$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求点 $M$ 的轨迹方程.

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19. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为 $4$ 的正方形， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $M$ 为 $P C$ 中点.

(1)、如果 $P D = 4$ ，求证： $P C ⊥$ 平面 $M A D$ ；

(2)、当 $B P$ 与平面 $M B D$ 所成角的正弦值最大时，求三棱锥 $D - M B C$ 的体积 $V$ .

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20. 在平面直角坐标系中， $C_{1} (0 ， - \sqrt{2})$ ，圆 $C_{2} ： x^{2} + {(y - \sqrt{2})}^{2} = 12$ ，动圆 $P$ 过 $C_{1}$ 且与圆 $C_{2}$ 相切.

(1)、求动点 $P$ 的轨迹 $C$ 的标准方程；

(2)、若直线 $l$ 过点 $(0 ， 1)$ ，且与曲线 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ ，已知 $A B$ 的中点在直线 $x = - \frac{1}{4}$ 上，求直线 $l$ 的方程.

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21. 如图，在几何体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 为菱形， $△ B C F$ 为等边三角形， $∠ A B C = 60 °$ ， $A B = 2 ， E F // C D$ ，平面 $B C F ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(1)、证明：在线段 $B C$ 上存在点 $O$ ，使得平面 $A B C D ⊥$ 平面 $A O F$ ；

(2)、求二面角 $B - A F - C$ 的余弦值；

(3)、若 $E D //$ 平面 $A O F$ ，求线段 $E F$ 的长度.

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22. 已知 $O$ 为坐标原点，椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ， $| F_{1} F_{2} | = 2$ ， $P$ 为椭圆的上顶点，以 $P$ 为圆心且过 $F_{1} ， F_{2}$ 的圆与直线 $x = - \sqrt{2}$ 相切.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、已知直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $M ， N$ 两点.
（ⅰ）若直线 $l$ 的斜率等于 $1$ ，求 $△ O M N$ 面积的最大值；

（ⅱ）若 $\vec{O M} \cdot \vec{O N} = - 1$ ，点 $D$ 在 $l$ 上， $O D ⊥ l$ .证明：存在定点 $W$ ，使得 $| D W |$ 为定值.

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