辽宁省部分重点高中2020-2021学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-09-07 类型：期中考试

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一、单选题

1. 如图所示，若直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{3}$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $k_{3}$ ，则（）

A、 $k_{2} < k_{1} < k_{3}$ B、 $k_{1} < k_{2} < k_{3}$ C、 $k_{3} < k_{2} < k_{1}$ D、 $k_{3} < k_{1} < k_{2}$

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2. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是平行四边形， $E$ 为 $P D$ 的中点，若 $\vec{P A} = \vec{a}$ ， $\vec{P B} = \vec{b}$ ， $\vec{P C} = \vec{c}$ ，则用基底 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 表示向量 $\vec{B E}$ 为（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{3}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{3}{2} \vec{c}$

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3. 若直线 $l$ 经过点 $P (- 2 ， 1)$ ，且 $\vec{v} = (- 2 ， 1)$ 是直线 $l$ 的法向量，则直线 $l$ 的方程为（）

A、 $x + 2 y = 0$ B、 $x + 2 y - 4 = 0$ C、 $2 x - y + 5 = 0$ D、 $2 x + y + 3 = 0$

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4. 若直线 $l$ 与平面 $α$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$ ，直线 $a$ 在平面 $α$ 内，则直线 $l$ 与直线 $a$ 所成的角的取值范围是（）

A、 $[0 ， \frac{π}{3}]$ B、 $[\frac{π}{6} ， \frac{π}{2}]$ C、 $[\frac{π}{3} ， \frac{π}{2}]$ D、 $[\frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$

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5. 椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{25} = 1$ 的两个焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P$ 是椭圆上任意一点（非长轴的顶点），则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为（）

A、14 B、16 C、18 D、 $10 + 2 \sqrt{41}$

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6. 已知点 $A (1 ， - 1 ， 2)$ ， $B (2 ， - 1 ， 1)$ ， $C (3 ， 3 ， 2)$ ，又点 $P (x ， 7 ， - 2)$ 在平面 $A B C$ 内，则 $x$ 的值为（）

A、11 B、9 C、1 D、-4

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7. 若直线 $a x - y - 2 a = 0$ 与以 $A (3 ， 1)$ ， $B (1 ， 2)$ 为端点的线段没有公共点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 1) \cup (\frac{1}{2} ， + \infty)$ B、 $(- 1 ， \frac{1}{2})$ C、 $(- \infty ， - 2) \cup (1 ， + \infty)$ D、 $(- 2 ， 1)$

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8. 如图所示，设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右两个焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，短轴的上端点为 $B$ ，短轴上的两个三等分点 $P$ ， $Q$ ，且四边形 $F_{1} P F_{2} Q$ 为正方形，若过点 $B$ 作此正方形的外接圆的一条切线 $l$ 在 $x$ 轴上的截距为 $- \frac{3 \sqrt{2}}{4}$ ，则此椭圆方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{8} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{10} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{20} + \frac{y^{2}}{18} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$

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二、多选题

9. 如果 $A \cdot C < 0$ ，且 $B \cdot C < 0$ ，那么直线 $A x + B y + C = 0$ 通过（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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10. 给出下列命题，其中为假命题的是（）

A、已知 $\vec{n}$ 为平面 $α$ 的一个法向量， $\vec{m}$ 为直线 $l$ 的一个方向向量，若 $\vec{n} ⊥ \vec{m}$ ，则 $l / / α$ B、已知 $\vec{n}$ 为平面 $α$ 的一个法向量， $\vec{m}$ 为直线 $l$ 的一个方向向量，若 $〈 \vec{n} ， \vec{m} 〉 = \frac{2 π}{3}$ ，则 $l$ 与 $α$ 所成角为 $\frac{π}{6}$ C、若三个向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 两两共面，则向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 共面 D、已知空间的三个向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，则对于空间的任意一个向量 $\vec{p}$ ，总存在实数 $x ， y ， z$ 使得 $\vec{p} = x \vec{a} + y \vec{b} + z \vec{c}$

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11. 椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4 + k} = 1$ 的离心率为 $\frac{4}{5}$ ，则 $k$ 的值为（）.

A、 $- 21$ B、 $- \frac{19}{25}$ C、 $\frac{19}{25}$ D、 $21$

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12. 如图，所有棱长都相等的正三棱锥 $P - A B C$ ， $O$ 是 $△ A B C$ 的中心，过 $O$ 点的直线交 $B C$ ， $B A$ 于 $M ， N$ 两点， $S$ 是棱 $P B$ 上的点，平面 $S M N$ 与棱 $P C$ 的延长线相较于点 $Q$ ，与棱 $P A$ 的延长线交于点 $R$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $A C / / R Q$ ，则 $M N / /$ 平面 $P A C$ B、当点 $S$ 为线段 $P B$ 的中点时， $P B ⊥$ 平面 $S R Q$ C、当点 $S$ 为线段 $P B$ 的靠近点 $P$ 的三等分点时，使 $\vec{P S} \cdot (\vec{P Q} + \vec{P R}) = 0$ D、 $\frac{1}{| P Q |} + \frac{1}{| P R |} + \frac{1}{| P S |}$ 的大小只与线段 $P C$ 的长度有关

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三、填空题

13. 过原点的直线与圆x²+y²﹣2x﹣4y+4=0相交所得的弦长为2，则该直线的方程为．

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14. 已知二面角 $α - l - β$ 为 $120^{\circ}$ ，在 $α$ 与 $β$ 的交线上取线段 $A B = 9$ ，且 $A C$ ， $B D$ 分别在平面 $α$ 和 $β$ 内，它们都垂直于交线 $A B$ ，且 $A C = 4$ ， $B D = 12$ ，则 $C D$ 的长为.

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15. 在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形） $A B C D$ 中， $M ， N$ 分别为 $B C ， A D$ 的中点，则直线 $A M$ 和 $C N$ 夹角的余弦值为.

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16. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若圆 $C_{1} ： {(x - 2)}^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 上存在点 $P$ ，且点 $P$ 关于直线 $x - y = 0$ 的对称点 $Q$ 在圆 $C_{2} ： {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ 上，则 $r$ 的取值范围是.

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四、解答题

17.

(1)、已知直线 $l_{1} ： 2 x - m y - 1 = 0$ 和 $l_{2} ： (m - 1) x - y + 1 = 0$ ，若 $l_{1} / / l_{2}$ ，求实数 $m$ 的值；

(2)、已知 $△ A B C$ 的三个顶点 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (2 ， 0)$ ， $C (6 ， 4)$ ，求其外接圆 $H$ 的标准方程.

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18. 请从下面两个条件中只任选一个，补充在下面的横线上，并作答.① $∠ C B D = 30^{\circ}$ ；② $B D$ 与平面 $A B C$ 所成的角为 $45^{\circ}$ .
如图，在三棱柱 $A - B C D$ 中， $△ A B C$ 是边长为 $2$ 的正三角形， $∠ B D C = 90^{\circ}$ ，平面 $A B C ⊥$ 平面 $B C D$ ， $O$ 是线段 $B C$ 的中点，__________.

(1)、求 $A C$ 与 $B D$ 所成角的余弦值；

(2)、求二面角 $O - A D - C$ 的余弦值.

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19. 如图所示，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A D = A A_{1} = 1$ ， $A B = 2$ ，点 $E$ 为线段 $A_{1} B_{1}$ 的中点，点 $F$ 为线段 $A B$ 的中点.

(1)、求 $A B$ 与平面 $A E C_{1}$ 所成角的正弦值；

(2)、求证： $F C //$ 平面 $A E C_{1}$ ，并求直线 $F C$ 到平面 $A E C_{1}$ 的距离.

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20. 已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4$ 与 $x$ 轴负半轴的交点为A，点 $P$ 在直线 $l ： \sqrt{3} x + y - 2 a = 0$ 上，过点 $P$ 作圆 $O$ 的切线，切点为 $T$ .

(1)、若 $a = 4 \sqrt{3}$ ，切点 $T (1 ， - \sqrt{3})$ ，求直线 $A P$ ；

(2)、若 $| P A | = 3 | P T |$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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21. 如图，四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $S A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $A D$ ， $S C$ 的中点， $E F$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为 $45^{\circ}$ .

(1)、证明： $E F$ 为异面直线 $A D$ 与 $S C$ 的公垂线；

(2)、若 $E F = \frac{1}{2} B C$ ，求二面角 $B - S C - D$ 的余弦值；

(3)、在（2）的条件下，棱 $S C$ 上是否存在点 $M$ ，使得 $D M$ 与平面 $B C S$ 所成的角为 $60^{\circ}$ ?若存在，写出 $\frac{S M}{S C}$ 的值；若不存在，说明理由.

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点坐标为 $(2 \sqrt{2} ， 0)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设 $O$ 为原点，若点 $A$ 在椭圆 $C$ 上，点 $B$ 在直线 $y = 4$ 上，且 $O A ⊥ O B$ ，试判断直线 $A B$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 9$ 的位置关系，并证明你的结论.

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