江西省九江五校2020-2021学年高二上学期理数期中联考试卷

试卷更新日期：2021-09-07 类型：期中考试

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一、单选题

1. 直线 $\sqrt{3}$ x＋3y－2＝0的倾斜角为（）

A、30° B、150° C、120° D、60°

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2. 总体由编号为01，02，…，49，50的50个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）

A、23 B、21 C、35 D、32

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3. 执行下面的程序框图，则输出S的值为（）

A、 $- \frac{1}{12}$ B、 $\frac{23}{60}$ C、 $\frac{11}{20}$ D、 $\frac{43}{60}$

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4. 某运动制衣品牌为了使成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展(单位：厘米)进行测量，甲图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，乙图为身高与臂展所对应的散点图，并求得臂展关于身高的回归直线方程为y＝1.16x－30.75，以下结论中正确的个数为（）

①15名志愿者身高的极差小于臂展的极差；

②15名志愿者身高和臂展成正相关关系；

③身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米；

④可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米.

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 已知直线a₁x＋b₁y＋1＝0和直线a₂x＋b₂y＋1＝0都过点A(3，2)，则过点P₁(a₁ ， b₁)和点P₂(a₂ ， b₂)的直线方程是（）

A、3x＋2y－1＝0 B、2x＋3y＋1＝0 C、3x－2y＋1＝0 D、3x＋2y＋1＝0

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6. 一个直棱柱被一平面截去一部分所得几何体的三视图如图，若该几何体的体积恰好等于一个半径为r的球的体积，则球的半径r＝（）

A、 $\frac{33}{2 π}$ B、 $\sqrt{\frac{33}{4 π}}$ C、 $\sqrt[3]{\frac{33}{2 π}}$ D、 $\sqrt[3]{\frac{33}{4 π}}$

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7. 圆C：x²＋y²－6x－8y＋9＝0被直线l：ax＋y－1－2a＝0截得的弦长取得最小值时，此时a的值为（）

A、3 B、－3 C、 $\frac{1}{3}$ D、－ $\frac{1}{3}$

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8. 在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，点M，N分别是线段DB₁和A₁C上不重合的两个动点，则下列结论中正确的个数是（）

①BC₁⊥MN；

②点M在侧面D₁DCC₁上的投影在D₁C上；

③B₁N//CM；

④直线BM与直线A₁D₁为异面直线.

A、0 B、1 C、2 D、3

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9. 直线 $a x + b y = 1$ 与圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 1$ 相交，则点 $M (a ， b)$ 与圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 1$ 的位置关系是（）

A、在圆上 B、在圆内 C、在圆外 D、不确定

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10. 在空间中，下列命题正确的是（）
①平行于同一条直线的两条直线平行；

②直线l⊥直线a，直线l⊥直线b，a，b $\subset$ 平面α，所以l⊥平面α；

③平行于同一个平面的两条直线平行；

④垂直于同一个平面的两条直线平行.

A、①③④ B、①④ C、① D、①②③④

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11. 设P是△ABC所在平面α外一点，P在平面α内的射影P'在△ABC内部，且P'为 $△ A B C$ 的内心，则（）

A、点P到三角形的三个顶点A，B，C的距离相等 B、点P到三角形的三边AB，BC，AC的距离相等 C、点P到三角形的三边AB，BC，AC的中点的距离相等 D、三棱锥P－ABC为正三棱锥

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12. 直线y＝x＋b与曲线x＝ $\sqrt{1 - y^{2}}$ 有且仅有两个公共点，则b的取值范围是（）

A、－1<b≤1或b＝－ $\sqrt{2}$ B、－1≤b<1或b＝ $\sqrt{2}$ C、－ $\sqrt{2}$ <b≤－1 D、－ $\sqrt{2}$ <b< $\sqrt{2}$

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二、填空题

13. 直线ax＋y－1＝0与直线2x＋3y－2＝0垂直，则实数a的值为.

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14. 某中学有高中生3500人，初中生1500人.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为 $n$ 的样本，已知从高中生中抽取70人，则 $n$ 为．

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15. 在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，M，N分别是线段AB₁ ， BC₁的中点，以下结论：

①直线MN⊥直线AA₁； ②直线MN//直线A₁C₁；

③直线MN与直线A₁D₁为异面直线，且夹角为 $\frac{π}{4}$ ； ④MN＝ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ AA₁.

其中正确命题的编号是.

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16. 若圆x²＋y²－4x－4y－10＝0上至少有三个不同点到直线l：ax＋by＝0的距离为 $2 \sqrt{2}$ ，则 $\frac{a}{b}$ 的取值范围是.

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三、解答题

17. 如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布表和频率分布直方图如下，回答下列问题：

(1)、分别求出a，b，x，y的值，并补全频率分布直方图；

(2)、估计这次环保知识竞赛的平均分；

(3)、若从所有参加环保知识竞赛的学生中随机抽取一人采访，抽到学生的成绩及格的概率有多大？

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18. 已知直线l的方程为(m－1)x＋(m＋3)y＋6－10m＝0，m∈R.

(1)、求证：直线l恒过定点P，并求出定点P的坐标；

(2)、若直线l与直线3x－4y＋2＝0平行，求m的值.

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19. 已知直线l：x＋2y－4＝0，圆C的圆心在x轴的负半轴上，半径为 $\sqrt{2}$ ，且圆心C到直线l的距离为 $\frac{6 \sqrt{5}}{5}$ .

(1)、求圆C的方程；

(2)、由直线l上一点Q作圆C的两条切线，切点分别为M，N，若直线MN的斜率为1，求点Q的坐标.

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20. 在如图所示的几何体中，侧面 $C D E F$ 为正方形，底面 $A B C D$ 中， $A B // C D$ ， $A B = 2 B C = 2 D C = 2$ ， $∠ B A C = 30^{\circ}$ ， $A C ⊥ F B$ .

(1)、求证： $A C ⊥$ 平面 $F B C$ ；

(2)、线段 $A C$ 上是否存在点 $M$ ，使 $E A //$ 平面 $F D M$ ？证明你的结论.

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21. 如图，直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AA₁＝2，A₁C＝2 $\sqrt{5}$ ，AB＝2，∠BAC＝60°.

(1)、求三棱锥A₁－ABC的表面积；

(2)、证明：在线段A₁C上存在点M，使得AC⊥BM，并求 $\frac{A_{1} M}{M C}$ 的值.

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22. 已知点A(8，0)，点B(4，0)，动点M(x，y)满足：|MA|＝ $\sqrt{2}$ |MB|.

(1)、求点M的轨迹方程；

(2)、点P(0，6)，在直线OP(O为坐标原点)上存在定点E(不同于点P)，满足对于圆M上任意一点N，都有 $\frac{| NE |}{| NP |}$ 为常数，试求所有满足条件的点E的坐标.

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