江西省赣州市十五县（市）十六校2020-2021学年度高二上学期文数期中联考试卷

试卷更新日期：2021-09-07 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 直线 $\sqrt{3} x - y - 1 = 0$ 的倾斜角大小（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

查看试题解析

2. 庚子新春，病毒肆虐，某老师为了解某班41名同学宅家学习期间上课、锻炼、休息等情况，决定将某班学生编号为01，02，…，41，利用下面的随机数表选取10个学生调查，选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个学生的编号为（）

9258	0613	0604	7214	0702	4312	9728	0198
3104	9231	4935	8209	3624	4869	6938	7481

A、04 B、06 C、13 D、14

查看试题解析

3. 已知直线 $m x + 3 y + 2 = 0$ 与直线 $2 x + (m - 1) y + m = 0$ 平行，则实数 $m =$ （）

A、-3 B、3 C、-2 D、-2或3

查看试题解析
4. 若两个变量 $x, y$ 是线性相关的，且样本 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, \dots, n)$ 的平均点为 $(3, 2.5)$ ，则这组样本数据算得的线性回归方程不可能是（）

A、 $y = 0.5 x + 1$ B、 $y = 0.6 x + 0.7$ C、 $y = 0.2 x + 1.9$ D、 $y = x - 1.5$

查看试题解析
5. 已知圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 2 x - 5 = 0$ ，该圆过点 $P (2 ， - 1)$ 的最短弦为 $A B$ ，则弦 $A B$ 的直线方程为（）

A、 $x + y + 1 = 0$ B、 $2 x + y - 3 = 0$ C、 $x - y - 3 = 0$ D、 $2 x - y - 5 = 0$

查看试题解析
6. 一组数据的平均数是26，方差是6，若将这组数据中的每一个数据都加上30，得到一组新数据，所得新数据的平均数和方差分别为（）

A、56，6 B、30，6 C、56，10 D、30，10

查看试题解析
7. 若 $m$ ， $n$ 是两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $m ⊥ α$ ， $n / / β$ ， $α / / β$ ，则 $m ⊥ n$ B、若 $m ⊥ β$ ， $α ⊥ β$ ，则 $m / / α$ C、若 $m \subseteq α$ ， $n \subseteq α$ ， $m / / β$ ， $n / / β$ ，则 $α / / β$ D、若 $m / / α$ ， $α \cap β = n$ ，则 $m / / n$

查看试题解析
8. 某几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图是腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体的最长棱的长度为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

查看试题解析
9. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， $M$ 是 $B B_{1}$ 的中点，则异面直线 $A_{1} M$ 与 $B_{1} C$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ D、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$

查看试题解析
10. 已知 $a = 1$ ， $b = {0.5}^{0.9}$ ， $c = \log_{5} 0.8$ ， $d = \log_{0.8} 0.5$ ，则执行如图所示的程序框图，输出的 $x$ 值等于（）（结果用 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ 表示）

A、 $a$ B、 $b$ C、 $c$ D、 $d$

查看试题解析
11. 已知圆 $C$ ： $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ ，直线 $l$ 经过点 $A (3 ， 0)$ ，过直线 $l$ 上的点 $P$ 引圆 $C$ 的两条切线，若切线长的最小值为2，则直线 $l$ 的斜率 $k =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、-2或 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{3}$ 或 $\frac{1}{2}$

查看试题解析
12. 数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数（常数大于零且不等于一）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (- 2 ， 0)$ ，动点 $M$ 满足 $| M A | = \sqrt{2} | M O |$ ，得到动点 $M$ 的轨迹是阿氏圆 $C$ .若对任意实数 $k$ ，直线 $l$ ： $y = k (x - 1) + b$ 与圆 $C$ 恒有公共点，则 $b$ 的取值范围是（）

A、 $[- \sqrt{5} ， \sqrt{5}]$ B、 $[- \sqrt{6} ， \sqrt{6}]$ C、 $[- \sqrt{7} ， \sqrt{7}]$ D、 $[- 2 \sqrt{2} ， 2 \sqrt{2}]$

查看试题解析

二、填空题

13. 已知 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (x ， 2)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $| \vec{b} | =$ .

查看试题解析
14. 已知 $a > 0, b > 0$ 且 $a + b = 1$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为.

查看试题解析
15. 某水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形，它是底角为 $45 °$ ，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的周长为.

查看试题解析
16. 如图，平面四边形 $A D B C$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = \sqrt{3}$ ， $B C = 2 \sqrt{3}$ ， $△ A B D$ 为等边三角形，现将 $△ A B D$ 沿 $A B$ 翻折，使点 $D$ 移动至点 $P$ ，且 $P B ⊥ B C$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的外接球的体积为.

查看试题解析

三、解答题

17. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 各项均为正数， $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_{1} = 4$ ， $S_{3} = 28$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \log_{2} a_{n}$ ，求数列 ${a_{n} + b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

查看试题解析
18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对各边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，设向量 $\vec{m} = (2 b - c ， a)$ ， $\vec{n} = (\cos C ， \cos A)$ 且满足 $\vec{m} / / \vec{n}$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 4$ ， $△ A B C$ 的面积为3，求 $△ A B C$ 的周长.

查看试题解析
19. 已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ， $D$ 是 $B C$ 中点， $E$ 是 $A A_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $A D ⊥ B C_{1}$ ；

(2)、求证： $D E / /$ 平面 $A_{1} C_{1} B$ .

查看试题解析
20. 2020年5月28日，十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》，此法典被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第一部以法典命名的法律，在法律体系中居于基础性地位，也是市场经济的基本法.民法典与百姓生活密切相关，某学校有800名学生，为了解学生对民法典的认识程度，抽查了100名学生进行测试，并按学生的成绩（单位：分）制成如图所示频率分布直方图.

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、若成绩在80分及以上视为优秀，根据样本数据估计该校学生对民法典认识程度优秀的人数；

(3)、如果抽查的测试平均分超过75分，就表示该学校通过测试，试判断该校能否通过测试.

查看试题解析
21. 如图，三棱锥 $P - A B C$ 中，底面 $△ A B C$ 是等腰直角三角形， $A B = B C = P A = 2$ ， $P A ⊥$ 底面 $A B C$ ，点 $E$ 为 $A C$ 的中点，点 $F$ 为侧棱 $P C$ 上任意一点.

(1)、求证：平面 $B E F ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若 $\frac{P G}{G B} = \frac{1}{2}$ ，求三棱锥 $A - P G E$ 体积.

查看试题解析
22. 已知圆 $C$ ： $x^{2} - 6 x + y^{2} - 6 y + 3 = 0$ ，直线 $l$ ： $x + y - 2 = 0$ 是圆 $E$ 与圆 $C$ 的公共弦 $A B$ 所在直线方程，且圆 $E$ 的圆心在直线 $y = 2 x$ 上.

(1)、求公共弦 $A B$ 的长度；

(2)、求圆 $E$ 的方程；

(3)、过点 $Q (- 2 ， 0)$ 分别作直线 $M N$ ， $R S$ ，交圆 $E$ 于 $M$ ， $N$ ， $R$ ， $S$ 四点，且 $M N ⊥ R S$ ，求四边形 $M R N S$ 面积的最大值与最小值.

查看试题解析