江苏省苏州市常熟市2020-2021学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-09-07 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设 $x \in R$ ，则“ $x^{2} - 5 x < 0$ ”是“ $| x - 1 | < 1$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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2. 不等式 $\frac{2}{x + 1} < 1$ 的解集是（）．

A、 $(- \infty ， - 1)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 1) \cup (1 ， + \infty)$ D、 $(- 1 ， 1)$

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3. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ， $a_{n} = 1 - \frac{1}{a_{n - 1}} (n \geq 2)$ ，则 $a_{2021}$ 等于（）

A、-1 B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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4. 已知 $a > b > c$ ， $a c > 0$ ，则下列关系式一定成立的是（）

A、 $c^{2} > b c$ B、 $b c (a - c) > 0$ C、 $a + b > c$ D、 $a^{2} > b^{2}$

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5. 我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤”，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重多少斤？

A、6斤 B、7斤 C、9斤 D、15斤

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6. 已知各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = 2$ ， $a_{5} = 2 a_{4} + 3 a_{3}$ ，则 $a_{6} =$ （）

A、2 B、54 C、162 D、243

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7. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $d$ ，关于 $x$ 的不等式 $d x^{2} + 2 a_{1} x \geq 0$ 的解集为 $[0 ， 9]$ ，则使数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 取得最大值的正整数 $n$ 的值为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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8. 设 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，满足 $a_{n}^{2} + 1 = 2 a_{n} S_{n}$ ，且 $a_{n} > 0$ ，则 $S_{100} =$ （）

A、10 B、 $3 \sqrt{11}$ C、 $10 - 3 \sqrt{11}$ D、11

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二、多选题

9. 关于x的不等式 $a x^{2} + b x + c < 0$ 的解集为 $(- \infty ， - 2) \cup (3 ， + \infty)$ ，则下列正确的是（）

A、 $a < 0$ B、关于x的不等式 $b x + c > 0$ 的解集为 $(- \infty ， - 6)$ C、 $a + b + c > 0$ D、关于x的不等式 $c x^{2} - b x + a > 0$ 的解集为 $(- \infty ， - \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{2} ， + \infty)$

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10. 当 $x \geq 1$ 时，下列函数的最小值为4的有（）

A、 $y = 4 x + \frac{1}{x}$ B、 $y = \frac{4 x^{2} - 4 x + 5}{2 x - 1}$ C、 $y = \frac{x^{2} + 5}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ D、 $y = 5 x - \frac{1}{x}$

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11. 设首项为1的数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{n + 1} = 2 S_{n} + n - 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、数列 ${S_{n} + n}$ 为等比数列 B、数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = 2^{n - 1} - 1$ C、数列 ${a_{n} + 1}$ 为等比数列 D、数列 ${2 S_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $2^{n + 2} - n^{2} - n - 4$

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12. 已知 ${a_{n}}$ 为等比数列，下列结论正确的是（）

A、若 $a_{3} = - 2$ ，则 $a_{2}^{2} + a_{4}^{2} \geq 8$ B、 $a_{3}^{2} + a_{5}^{2} \geq 2 a_{4}^{2}$ C、若 $a_{3} = a_{5}$ ，则 $a_{1} = a_{2}$ D、若 $a_{5} > a_{3}$ ，则 $a_{7} > a_{5}$

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三、填空题

13. 命题“ $\exists x > 0$ ， $x^{3} + x < 0$ ”的否定为．

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14. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足 $y > \frac{3}{2}$ 且 $6 x y - 9 x + 2 y - 4 = 0$ ，则 $3 x + y$ 的最小值是.

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15. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + 2 a_{2} + 2^{2} a_{3} + \cdot \cdot \cdot + 2^{n - 1} a_{n} = \frac{1}{2} n^{2} - \frac{7}{2} n$ ，若对任意 $λ > 0$ ，所有的正整数n都有 $λ^{2} - k λ + 2 > a_{n}$ 成立，则实数k的取值范围是．

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{n} = {\begin{array}{l} \frac{1}{2} ， (n = 1) \\ [1 + 2 \cdot {(- 1)}^{λ}] a_{n - 1} + 2 (n \geq 2) \end{array}$ ， ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则当 $λ = 1$ 时， $S_{11} =$ ；当 $λ = 2$ 时，数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} =$ .

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四、解答题

17. 已知关于x的不等式 $a x^{2} - 2 x + a < 0$ 的解集为空集，函数 $f (x) = x + \frac{2}{2 x + 1} + m$ 在 $x \in (- \frac{1}{2} ， + \infty)$ 上的值域为B．

(1)、求实数a的取值集合A及函数 $f (x)$ 的值域B；

(2)、对（1）中的集合A，B，若 $x \in A$ 是 $x \in B$ 的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

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18. 已知正项等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{3} = 12$ ，且 $2 a_{1} ， a_{2} ， a_{3} + 1$ 成等比数列.

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{a_{n}}{3^{n}}$ ，记数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$

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19. 小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本3万元，每生产x万件时，该产品需另投入流动成本 $W (x)$ 万元．在年产量不足8万件时， $W (x) = \frac{1}{3} x^{2} + x$ ，在年产量不小于8万件时， $W (x) = 6 x + \frac{100}{x} - 38$ ．每件产品的售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完，设年利润为 $L (x)$ （单位：万元）．

(1)、若年利润 $L (x)$ （单位：万元）不小于6万元，求年产量x（单位：万件）的范围．

(2)、年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

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20. 设函数 $f (x) = a x^{2} - (3 a + 2) x + 6$ ．

(1)、若 $f (x) > (a - 2) x^{2} - (a + 1) x + 1$ 在 $x \in [- 1 ， + \infty)$ 恒成立，求实数a的取值范围；

(2)、解关于x的不等式 $a x^{2} - (3 a + 2) x + 6 > 0$ ．

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21. 设数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，满足 $S_{n} + a_{n} = A n^{2} + B n + 1$ ．且 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = \frac{3}{2}$ ．

(1)、求证：数列 ${a_{n} - n + 1}$ 是等比数列并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} - n + 1}$ ，求数列 ${\frac{b_{n}}{(b_{n} + 1) (b_{n + 1} + 1)}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ，若对任意n都有 $T_{n} > m$ ，求实数m的取值范围．

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22. 设各项均为正数的数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $n a_{n + 1} - (n + 1) a_{n} = 1 (n \in N^{*})$ ，且 $a_{1} = 1$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 $λ$ 的值使数列 ${\sqrt{4 S_{n} + 4 n + λ}}$ 为等差数列；

(3)、数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \frac{1}{4 S_{n} - 1}$ ， $T_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前n项和，是否存在正整数m， $k (1 < m < k)$ ，使得 $T_{k} = 3 T_{m}^{2}$ ？若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由．

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