辽宁省鞍山市2021年中考数学试卷

试卷更新日期：2021-09-07 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 下列实数最小的是（）

A、－2 B、－3.5 C、0 D、1

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2. 下列四幅图片上呈现的是垃圾类型及标识图案，其中标识图案是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{2} + a^{3} ＝ a^{5}$ B、 $a^{3} \cdot a^{4} ＝ a^{12}$ C、 $a^{3} \div a^{2} ＝ a$ D、 ${(- 3 a^{3} b)}^{2} ＝ 6 a^{6} b^{2}$

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4. 不等式 $3 - 2 x ⩽ x$ 的解集在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图，直线 $a / / b$ ，将一个含 $30 °$ 角的三角尺按如图所示的位置放置，若 $∠ 1 ＝ 24 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、 $120 °$ B、 $136 °$ C、 $144 °$ D、 $156 °$

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6. 某班40名同学一周参加体育锻炼时间统计如表所示：

时间/h

6

7

8

9

人数

2

18

14

6

那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（）

A、18，7.5 B、18，7 C、7，8 D、7，7.5

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7. 如图，AB为 $⊙ O$ 的直径，C ， D为 $⊙ O$ 上的两点，若 $∠ A B D ＝ 54 °$ ，则 $∠ C$ 的度数为（）

A、 $34 °$ B、 $36 °$ C、 $46 °$ D、 $54 °$

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8. 如图， $△ A B C$ 是等边三角形， $A B ＝ 6 cm$ ，点M从点C出发沿CB方向以 $1 cm/s$ 的速度匀速运动到点B ，同时点N从点C出发沿射线CA方向以 $2 cm/s$ 的速度匀速运动，当点M停止运动时，点N也随之停止．过点M作 $M P / / C A$ 交AB于点P ，连接MN ， NP ，作 $△ M N P$ 关于直线MP对称的 $△ M N^{'} P$ ，设运动时间为ts ， $△ M N^{'} P$ 与 $△ B M P$ 重叠部分的面积为 $S {cm}^{2}$ ，则能表示S与t之间函数关系的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

9. 第七次全国人口普查数据结果显示，全国人口约为1411780000人．将1411780000用科学记数法可表示为．

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10. 一个小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，则小球停留在黑色区域的概率是．

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11. 如图， $△ A B C$ 沿BC所在直线向右平移得 $△ D E F$ ，已知 $E C = 2$ ， $B F = 8$ ，则平移的距离为．

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12. 习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则正确的方程是．

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13. 如图，矩形ABCD中， $A B = 3$ ，对角线AC ， BD交于点O ， $D H ⊥ A C$ ，垂足为点H ，若 $∠ A D H = 2 ∠ C D H$ ，则AD的长为．

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14. 如图， $∠ P O Q = 90 °$ ，定长为a的线段端点A ， B分别在射线OP ， OQ上运动（点A ， B不与点O重合），C为AB的中点，作 $△ O A C$ 关于直线OC对称的 $△ O A^{'} C$ ， $A^{'} O$ 交AB于点D ，当 $△ O B D$ 是等腰三角形时， $∠ O B D$ 的度数为．

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15. 如图， $△ A B C$ 的顶点B在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上，顶点C在x轴负半轴上， $A B / / x$ 轴，AB ， BC分别交y轴于点D ， E ．若 $\frac{B E}{C E} = \frac{C O}{A D} = \frac{3}{2}$ ， $S_{△ A B C} = 13$ ，则 $k =$ ．

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16. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC ， BD相交于点O ， F是线段OD上的动点（点F不与点O ， D重合），连接CF ，过点F作 $F G ⊥ C F$ 分别交AC ， AB于点H ， G ，连接CG交BD于点M ，作 $O E / / C D$ 交CG于点E ， EF交AC于点N ．有下列结论：①当 $B G = B M$ 时， $A G = \sqrt{2} B G$ ；② $\frac{O H}{O M} = \frac{O F}{O C}$ ；③当 $G M = H F$ 时， $C F^{2} = C N \cdot B C$ ；④ $C N^{2} = B M^{2} + D F^{2}$ ．其中正确的是（填序号即可）．

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三、解答题

17. 先化简，再求值： $(\frac{1}{a - 2} - \frac{3}{a^{2} - 4}) \div \frac{a - 1}{a^{2} + 2 a}$ ，其中 $a = \sqrt{6} + 2$ ．

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18. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，G为BC边上一点， $D G = D C$ ，延长DG交AB的延长线于点E ，过点A作 $A F / / E D$ 交CD的延长线于点F ．求证：四边形AEDF是菱形．

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19. 为了加快推进我国全民新冠病毒疫苗接种，在全国范围内构筑最大免疫屏障，各级政府积极开展接种新冠病毒疫苗的宣传工作．某社区印刷了多套宣传海报，每套海报四张，海报内容分别是：
A.防疫道路千万条，接种疫苗第一条；

B ．疫苗接种保安全，战胜新冠靠全员；

C ．接种疫苗别再拖，安全保障好处多；

D ．疫苗接种连万家，平安健康乐全家．

志愿者小张和小李利用休息时间到某小区张贴海报．

(1)、小张从一套海报中随机抽取一张，抽到B海报的概率是．

(2)、小张和小李从同一套海报中各随机抽取一张，用列表法或画树状图法，求他们两个人中有一个人抽到D海报的概率．

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20. 为庆祝建党100周年，某校开展“学党史•颂党恩”的作品征集活动，征集的作品分为四类：征文、书法、剪纸、绘画．学校随机抽取部分学生的作品进行整理，并根据结果绘制成如下两幅不完整的统计图．

请根据以上信息解答下列问题：

(1)、所抽取的学生作品的样本容量是多少？

(2)、补全条形统计图．

(3)、本次活动共征集作品1200件，估计绘画作品有多少件．

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21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = k_{1} x + b$ 的图象分别与x轴、y轴交于A ， B两点，与反比例函数 $y = \frac{k_{2}}{x}$ 的图象在第二象限交于C ， $D (- 6 ， 2)$ 两点， $D E / / O C$ 交x轴于点E ，若 $\frac{A D}{A C} = \frac{1}{3}$ ．

(1)、求一次函数和反比例函数的表达式．

(2)、求四边形OCDE的面积．

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22. 小明和小华约定一同去公园游玩，公园有南北两个门，北门A在南门B的正北方向，小明自公园北门A处出发，沿南偏东30°方向前往游乐场D处；小华自南门B处出发，沿正东方向行走150m到达C处，再沿北偏东22.6°方向前往游乐场D处与小明汇合（如图所示），两人所走的路程相同．求公园北门A与南门B之间的距离．（结果取整数．参考数据： $sin 22.6 ° \approx \frac{5}{13}$ ， $cos 22.6 ° \approx \frac{12}{13}$ ， $tan 22.6 ° \approx \frac{5}{12}$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）

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23. 如图，AB为 $⊙ O$ 的直径，C为 $⊙ O$ 上一点，D为AB上一点， $B D = B C$ ，过点A作 $A E ⊥ A B$ 交CD的延长线于点E ， CE交 $⊙ O$ 于点G ，连接AC ， AG ，在EA的延长线上取点F ，使 $∠ F C A = 2 ∠ E$ ．

(1)、求证：CF是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A C = 6$ ， $A G = \sqrt{10}$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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24. 2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件30元，当销售单价定为70元时，每天可售出20件，每销售一件需缴纳网络平台管理费2元，为了扩大销售，增加盈利，决定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低1元，则每天可多售出2件（销售单价不低于进价），若设这款文化衫的销售单价为x（元），每天的销售量为y（件）．

(1)、求每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

(2)、当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为多少元？

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25. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = α （ 0 ° < α < 180 ° ）$ ，过点A作射线AM交射线BC于点D ，将AM绕点A逆时针旋转 $α$ 得到AN ，过点C作 $C F / / A M$ 交直线AN于点F ，在AM上取点E ，使 $∠ A E B = ∠ A C B$ ．

(1)、当AM与线段BC相交时，
①如图1，当 $α = 60 °$ 时，线段AE ， CE和CF之间的数量关系为 ▲ ．

②如图2，当 $α = 90 °$ 时，写出线段AE ， CE和CF之间的数量关系，并说明理由．

(2)、当 $tan α = \frac{4}{3}$ ， $A B ＝ 5$ 时，若 $△ C D E$ 是直角三角形，直接写出AF的长．

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26. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 3$ 交x轴于点 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ ，D是抛物线的顶点，P是抛物线上的动点，点P的横坐标为 $m （ 0 \leq m \leq 3 ）$ ， $A E / / P D$ 交直线l： $y = \frac{1}{2} x + 2$ 于点E ， AP交DE于点F ，交y轴于点Q ．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、设 $△ P D F$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ A E F$ 的面积为 $S_{2}$ ，当 $S_{1} = S_{2}$ 时，求点P的坐标；

(3)、连接BQ ，点M在抛物线的对称轴上（位于第一象限内），且 $∠ B M Q ＝ 45 °$ ，在点P从点B运动到点C的过程中，点M也随之运动，直接写出点M的纵坐标t的取值范围．

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时间/h	6	7	8	9
人数	2	18	14	6