初中数学浙教版九年级上册第4章相似三角形单元检测

试卷更新日期：2021-09-07 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 如图所示的两个四边形相似，则α的度数是(　　)

A、60° B、75° C、87° D、120°

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2. 已知 $\frac{a}{2} = \frac{b}{3}$ （a≠0，b≠0），下列变形正确的是（）

A、 $\frac{b}{a} = \frac{2}{3}$ B、 $\frac{a}{3} = \frac{b}{2}$ C、 $\frac{2}{a} = \frac{3}{b}$ D、 $\frac{a}{3} = \frac{2}{b}$

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3. 如图，已知 $△ A D E \sim △ A C B$ ， $A B = 10$ ， $A C = 8$ ， $A D = 4$ ，则 $A E$ 的长是（）

A、5 B、6 C、15 D、20

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4. 如图，点G、F分别是 $△ B C D$ 的边 $B C$ 、 $C D$ 上的点， $B D$ 的延长线与 $G F$ 的延长线相交于点A ， $D E / / B C$ 交 $G A$ 于点E ，则下列结论错误的是（）

A、 $\frac{A D}{B D} = \frac{A E}{E G}$ B、 $\frac{D E}{C G} = \frac{D F}{C F}$ C、 $\frac{A E}{A G} = \frac{D E}{B C}$ D、 $\frac{A D}{A B} = \frac{D E}{B G}$

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5. 如图，在4×4的正方形网格中，画2个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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6. 如图， $Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ C B A = 30 °$ ，点 $D$ 在 $B A$ 的延长线上，且 $B A = 2 A D$ 连接 $D C$ 并延长，过 $B$ 作 $B E ⊥ D C$ 于点 $E$ ，若 $B E = 3$ ，则 $Δ A C D$ 的面积为（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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7. 如图，线段AB∥CD，连接AD，BC交于点O，若CD＝2AB，则下列选项中错误的是（）

A、△AOB∽△DOC B、 $\frac{A O}{O C} = \frac{1}{2}$ C、 $\frac{Δ A O B 的面积}{Δ D O C 的面积} = \frac{1}{4}$ D、 $\frac{Δ A O B 的周长}{Δ D O C 的周长} = \frac{1}{2}$

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8. 在边长为 $\sqrt{2}$ 的正方形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点O ， P是 $B D$ 上一动点，过P作 $E F / / A C$ ，分别交正方形的两条边于点E ， F ．设 $B P = x$ ， $△ O E F$ 的面积为y ，当 $1 < x < 2$ 时，y与x之间的关系式为（）

A、 $y = - x^{2} + x$ B、 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} x$ C、 $y = - x^{2} + 3 x - 2$ D、 $y = x^{2} - 3 x + 2$

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9. 如图，E ， F分别为矩形ABCD的边AD ， BC的中点，若矩形ABCD与矩形EABF相似，AB＝1，则矩形ABCD的面积是（）

A、4 B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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10. 如图，△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A、B的对应点分别为A′、B′，A′、B′均在图中格点上，若线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为（）

A、 $(\frac{m}{2} ， n)$ B、（m，n） C、 $(\frac{m}{2} ， \frac{n}{2})$ D、 $(\frac{m}{2} ， \frac{n}{2})$

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二、填空题

11. 在平面直角坐标系中已知点 $E (- 2 ， 1)$ ， $F (- 1 ， - 1)$ ，以原点 $O$ 为位似中心，相似比为1：2，将 $△ E F O$ 扩大，则点 $E$ 的对应点 $E^{'}$ 的坐标是．

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12. 如图，在矩形ABCD中，AB=12，BC=9，点E，G分别为边AB，AD上的点，若矩形AEFG与矩形ABCD相似，且相似比为 $\frac{2}{3}$ ，连接CF，则CF=.

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13. 如图，已知每个小方格的边长均为1，则 $△ A B C$ 与 $△ C D E$ 的周长比为．

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14. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝16 cm，AC＝12 cm，点P从点B出发，沿BC以2 cm/s的速度向点C移动，点Q从点C出发，以1 cm/s的速度向点A移动，若点P、Q分别从点B、C同时出发，设运动时间为ts，当t＝时，△CPQ与△CBA相似．

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15. 如图， $△ A B C \sim$ $△ A C D$ ，相似比为 $2 ： 1$ ，则面积之比 $S_{△ B D C} ： S_{△ D A C}$ 为．

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16. 如图，△ABC中，D、F在AB边上，E、G在AC边上，DE∥FG∥BC，且AD：DF：FB＝3：2：1，若AG＝15，则EC的长为.

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三、解答题

17. 如图， $B E$ 是 $△ A B C$ 的角平分线，延长 $B E$ 至点 $D ，$ 使得 $B C = C D$ .求证： $△ A B E \sim △ C D E$ .

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18. 已知直线l₁∥l₂∥l₃ ， AG=1.2cm，BG=2.4cm，EF=3cm，CD=4cm，求CH、KF的值。

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19. 如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB=6，AE=9，DE=2，求EF的长．

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20.

(1)、体验：如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD ， ∠B＝90°，点M在BC边上，当∠AMD＝90°时，可知△ABM△MCD（不要求证明）．

(2)、探究：如图2，在四边形ABCD中，点M在BC上，当∠B＝∠C＝∠AMD时，求证：△ABM∽△MCD ．
拓展：如图3，在△ABC中，点M是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B＝∠C＝∠DME＝45°，BC＝8 $\sqrt{2}$ ，CE＝6，求DE的长．

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21.
一个矩形ABCD的较短边长为2．
（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；
（2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．

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22. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，﹣1）．
①以O为位似中心在第二象限作位似比为1：2变换，得到对应的△A₁B₁C₁ ，画出△A₁B₁C₁ ，并写出C₁的坐标；
②以原点O为旋转中心，画出把△ABC顺时针旋转90°的图形△A₂B₂C₂ ，并写出C₂的坐标．

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四、综合题

23. 如图1， $C D$ 是 $△ A B C$ 的高， $C D^{2} = A D \cdot B D$ .

(1)、求证： $∠ A C B = 90 °$ .

(2)、如图2， $B N$ 是 $△ A B C$ 的中线， $C H ⊥ B N$ 于点I交 $A B$ 于H点，若 $\frac{A C}{B C} = \frac{2}{3}$ ，求 $\frac{B H}{A H}$ 的值.

(3)、如图3，M是 $C D$ 的中点， $B M$ 交 $A C$ 于E， $E F ⊥ A B$ 于F.若 $E F = 4$ ， $C E = 3.2$ ，直接写出 $A B$ 的值.

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24. 汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域.如图，△ABC、△FED分别为汽车两侧盲区的示意图，已知视线PB与地面BE的夹角∠PBE＝43°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝20°，点A，F分别为PB，PE与车窗底部的交点，AF∥BE，AC，FD垂直地面BE，A点到B点的距离AB＝1.6m.
（参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4）

(1)、求盲区中DE的长度；

(2)、点M在ED上，MD＝1.8m，在M处有一个高度为0.3m的物体，驾驶员能观察到物体吗？请说明理由。

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25. 在梯形 $A B C D$ 中， $A B // C D$ ， $∠ B C D = 90 °$ ， $B C = D C$ ，对角线 $A C$ 和 $B D$ 相交于点 $O$ ，等腰直角 $△ E C F$ 的直角顶点 $C$ 与梯形的顶点 $C$ 重合，将 $△ E C F$ 绕点 $C$ 旋转

(1)、如图1，当 $△ E C F$ 的一边 $C E$ 落在 $B C$ 边上，另一边 $C F$ 落在 $D C$ 边的延长线上时，求证： $△ B C F ≌ △ D C E$

(2)、继续旋转 $△ E C F$ ，旋转角为 $α$ ，请你在图2中画出图形，并判断（1）中的结论是否成立？若成立加以证明：若不成立，说明理由；

(3)、如图3，继续旋转 $△ E C F$ ，当三角形的一边 $C F$ 与梯形对角线 $A C$ 重合， $E F$ 与 $C D$ 相交于点 $P$ 时，若 $A B = 1$ ， $B C = 2$ ， $O F = \frac{\sqrt{5}}{6}$ ，分别求出线段 $O A$ 、 $O B$ 、 $E P$ 的长．

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初中数学浙教版九年级上册第4章 相似三角形单元检测

一、单选题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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