初中数学浙教版九年级上册4.5 相似三角形的性质及应用同步练习

试卷更新日期：2021-09-07 类型：同步测试

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一、单选题

1. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D E / / A B$ ，且 $\frac{A D}{B D} = \frac{3}{4}$ ，则 $\frac{A E}{A C}$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{7}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{4}{7}$ D、 $\frac{3}{4}$

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2. 如图所示，在△ABC 中，AB＝6，AC＝4，P 是AC 的中点，过 P 点的直线交AB 于点Q，若以 A、P、Q 为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则AQ 的长为（）

A、3 B、3或 $\frac{4}{3}$ C、3或 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{3}$

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3. 如图，□ABCD中，EF∥AB，DE∶DA = 2∶5，EF = 4，则CD的长为（）

A、 $\frac{16}{3}$ B、8 C、10 D、16

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4. 如图，在 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 中， $∠ C A B = ∠ D A E = 36 °$ ， $A B = A C$ ， $A D = A E$ ．连接CD ，连接BE并延长交AC ， AD于点F ， G ．若BE恰好平分 $∠ A B C$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $∠ A D C = ∠ A E B$ B、 $C D // A B$ C、 $D E = G E$ D、 $B F^{2} = C F \cdot A C$

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5. 如图，数学兴趣小组利用硬纸板自制的Rt△ABC来测量操场旗杆MN的高度，他们通过调整测量位置，并使边AC与旗杆顶点M在同一直线上，已知AC＝0.8米，BC=0.5米，目测点A到地面的距离AD＝1.5米，到旗杆的水平距离AE＝20米，则旗杆MN的高度为（）

A、12米 B、12.5米 C、14米 D、15米

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6. 如图，大三角形与小三角形是位似图形．若小三角形一个顶点的坐标为（m ， n），则大三角形中与之对应的顶点坐标为（）

A、（﹣2m ， ﹣2n） B、（2m ， 2n） C、（﹣2n ， ﹣2m） D、（2n ， 2m）

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7. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $P$ 为对角线 $B D$ 上一点，过点 $P$ 作 $P E // A B$ ，交 $A D$ 于点 $E$ ，过点 $P$ 作 $P F // C D$ ，交 $B C$ 于点 $F$ ，则下列所给的结论中，不一定正确的是（）．

A、 $\frac{P E}{A B} = \frac{P F}{C D}$ B、 $\frac{A E}{D E} = \frac{B F}{C F}$ C、 $\frac{C F}{B C} + \frac{A E}{A D} = 1$ D、 $\frac{P E}{A B} + \frac{P F}{C D} = 1$

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8. 如图，G是△ABC的中位线MN的中点，CG的延长线交AB于点F ，则AF：FB等于（）

A、1：2 B、1：3 C、2：3 D、3：4

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9. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $E F // A B$ ， $D E ： A E = 2 ： 3$ ， $△ B D C$ 的面积为25，则四边形 $A E F B$ 的面积为（）

A、25 B、9 C、21 D、16

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 5$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $B$ 顺时针旋转，使点 $A$ 旋转至 $B C$ 边上的点 $A^{'}$ 处，点 $C$ 的对应点为点 $C^{'}$ ， $C^{'} A^{'}$ 的延长线恰好经过点 $A$ ，则 $B C$ 的长为（）

A、 $5 \sqrt{5} - 3$ B、 $\frac{5 \sqrt{5} + 5}{2}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{5 \sqrt{5}}{2}$

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二、填空题

11. 学习投影后，小华利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度.如图，身高1.7m的小明从路灯灯泡A的正下方点B处，沿着平直的道路走8m到达点D处，测得影子DE长是2m，则路灯灯泡A离地面的高度AB为m.

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12. 如图，在△ABC中，E ， F分别是AB ， AC上的点，且满足AE $= \frac{1}{4}$ AB ， AF $= \frac{1}{4}$ AC ， BC＝4，则EF的值为．

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13. 《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆 $A B$ ，从木杆的顶端B观察井水水岸D ，视线 $B D$ 与井口的直径 $A C$ 交于点E ，如果测得 $A B = 1$ 米， $A C = 1.6$ 米， $A E = 0.4$ 米，那么 $C D$ 为米．

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14. 如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（-2，0），C（4，4），D（﹣2，6），点E在x轴上，满足∠BED＝∠AEC，则点E的坐标为.

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 6$ ， $D$ 是 $A C$ 中点， $E$ 是 $B C$ 上一点， $B E = \frac{5}{2}$ ， $∠ A E D = ∠ B$ ，则 $C E$ 的长为．

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ ，垂足为 $D$ ， $A D = 5$ ， $B C = 10$ ，四边形 $E F G H$ 和四边形 $H G N M$ 均为正方形，且点 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 、 $H$ 、 $N$ 、 $M$ 都在 $△ A B C$ 的边上，那么 $△ A E M$ 与四边形 $B C M E$ 的面积比为．

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三、解答题

17. 如图，在直角三角形 $A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， A C = 40 ， B C = 30$ ，作 $△ A B C$ 的内接矩形 $C D E F$ ．设 $D E = x$ ，求x取何值时矩形的面积最大？

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18. 清朝《数理精蕴》里有一首小诗《古色古香方城池》：今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立．又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？
如图所示，诗的意思是：有正方形的城池一座，四面城墙的正中有门，从南门口（点D）直行8里有一塔（点A），自西门（点E）直行2里至点B，切城角（点C）也可以看见塔，问这座方城每面城墙的长是多少里？

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19. 如图，已知 $△ A B C ∽ △ A D E$ ，求证： $△ A B D ∽ △ A C E$ .

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20. 小雁塔位于西安市南郊的荐福寺内，又称“荐福寺塔”，建于唐景龙年间，与大雁塔同为唐长安城保留至今的重要标志.数学活动小组的同学对该塔进行了测量，测量方法如下：如图所示，间接测得该塔底部点B到地面上一点E的距离为38米，塔的顶端为点A，且 $A B ⊥ E B$ ，在点E处竖直放一根标杆，其顶端为D， $D E ⊥ E B$ ，在BE的延长线上找一点C，使C，D，A三点在同一直线上，测得 $C E = 2$ 米.已知标杆 $D E = 2.2$ 米，求该塔的高度AB.

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四、综合题

21. 如图所示，△ABC中，BD⊥AC于点D ， CE⊥AB于点E ， BD与CE相交于点F ．

(1)、求证：△BEF∽△CDF；

(2)、求证：DE·BF＝EF·BC ．

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22. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 、 $E$ 分别在边 $A B$ ， $A C$ 上， $∠ A E D = ∠ B$ ，线段 $A G$ 分别交线段 $D E$ ， $B C$ 于点 $F$ ， $G$ ，且 $\frac{A D}{A C} = \frac{D F}{C G}$ ．

(1)、求证： $△ A D F \sim △ A C G$ ；

(2)、若 $\frac{A D}{A C} = \frac{4}{9}$ ，求 $\frac{A F}{F G}$ 的值．

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23. 如图，在 $△ A B C$ 和 $△ D E C$ 中， $∠ A = ∠ D$ ， $∠ B C E = ∠ A C D$ .

(1)、求证： $△ A B C \sim △ D E C$ ；

(2)、若 $S_{△ A B C} ： S_{△ D E C} = 4 ： 9$ ， $B C = 6$ ，求 $E C$ 的长.

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24. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，线段AG分别交线段DE，BC于点F，G，且 $\frac{A D}{A C} = \frac{D F}{C G}$

(1)、求证：△ADF∽△ACG；

(2)、若 $\frac{A D}{A C} = \frac{4}{9}$ ，求 $\frac{A F}{F G}$ 的值。

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25. 已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC²＝BF•BA，CF与DE相交于点G．

(1)、求证：△BCF∽△DGF；

(2)、求证：DF•AB＝BC•DG；

(3)、当点E为AC中点时，求证：2DF•EG＝AF•DG．

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26. 如图，圆内接正方形 $A B C D ， E$ 是圆弧 $C D$ 上的一点，连接 $B E$ ，线段 $B E$ 上有一点 $F$ ，连接 $D F ， D E$ ，且 $D E = E F$ ．

(1)、求证： $△ D E C ∽ △ D F B$ ．

(2)、连接 $C F$ ，当四边形 $D E C F$ 是平行四边形时，求 $\frac{B E}{B F}$ 的值．

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27. 如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E ，点F分别在线段AB ， AD上，且∠EFD＝∠BDF ．

(1)、求证：△AFE∽△ADC ．

(2)、若 $\frac{A E}{A C} = \frac{4}{5}$ ， $\frac{A E}{E B} = 2$ ，且∠AFE＝∠C ，探索BE和DF之间的数量关系．

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