广西贵港市港北区2021年数学中考二模试卷

试卷更新日期：2021-09-06 类型：中考模拟

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一、单选题

1. -3的相反数是（）

A、-3 B、0 C、3 D、2

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2. 纳米是表示微小距离的单位，符号是 $nm$ ，已知 $1 nm = 0.000000001 m$ 数据14纳米用科学记数法表示为（）

A、 $1.4 \times 10^{- 10}$ 米 B、 $1.4 \times 10^{- 9}$ 米 C、 $14 \times 10^{- 8}$ 米 D、 $1.4 \times 10^{- 8}$ 米

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{2} + 3 a^{2} = 3 a^{2}$ B、 $a^{2} b \cdot 2 b^{3} = 2 a^{6} b$ C、 ${(- 3 a)}^{2} = 9 a^{2}$ D、 $a b - b = a$

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4. 江阴市今年4月上旬有一段时间7天的最高气温为（单位：℃）：20，17，18，20，18，18，22，对这组数据，下列说法正确的是（）

A、平均数为18 B、中位数为20 C、众数为18 D、极差为4

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5. 在平面直角坐标系中，有 $A (- 2 ， a + 2)$ ， $B (a - 3 ， 4)$ 两点，若 $A B // x$ 轴，则A，B两点间的距离为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 下列说法错误的是（）

A、同旁内角相等，两直线平行 B、旋转不改变图形的形状和大小 C、对角线相等的平行四边形是矩形 D、菱形的对角线互相垂直

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7. 抛物线 $y = - {(x - 1)}^{2} - 3$ 是由抛物线 $y = - x^{2}$ 经过怎样的平移得到的（）

A、先向右平移1个单位，再向上平移 $3$ 个单位 B、先向左平移1个单位，再向下平移 $3$ 个单位 C、先向右平移1个单位，再向下平移 $3$ 个单位 D、先向左平移1个单位，再向上平移 $3$ 个单位

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8. 已知关于x的一元二次方程x²+2x+m﹣2=0有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为（）

A、6 B、5 C、4 D、3

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9. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为6， $A C$ 为对角线，取 $A B$ 中点E， $D E$ 与 $A C$ 交于点F则 $\sin ∠ D F C$ 等于（）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{3 \sqrt{10}}{2}$

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10. 如图，点A，D，B，C是圆O上的四个点，连接 $A B$ ， $C D$ 相交于点E，若 $∠ B O D = 38 °$ ， $∠ A O C = 132 °$ ，则 $∠ A E C$ 的度数为（）

A、95° B、90° C、85° D、80°

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11. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 8$ ，点E为 $C D$ 中点，P、Q为 $B C$ 边上两个动点，且 $P Q = 2$ ，当四边形 $A P Q E$ 周长最小时， $B P$ 的长为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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12. 如图，菱形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 60 °$ ， $A C$ 与 $B D$ 交于点O，E为 $C D$ 延长线上的一点，且 $C D = D E$ ，连结 $B E$ ，分别交 $A C$ ， $A D$ 于点F、G，连结 $O G$ ，则下列结论：① $O G = \frac{1}{2} A B$ ﹔② $S_{△ A C D} = 6 S_{△ B O F}$ ﹔③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；④ $S$ _四边形 $_{O D G F}$ $> S_{△ A B F}$ 其中正确的结论是（）

A、①② B、①②③ C、①③④ D、②③④

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二、填空题

13. 在0，1，π， $- \frac{22}{7}$ 这些数中，无理数是 .

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14. 分解因式：3a²﹣12= ．

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15. 某人沿着坡度 $i = 1 ： \sqrt{3}$ 的山坡向上走了 $400 m$ ，则他上升的高度为m.

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16. 若关于x的分式方程 $\frac{x}{x - 3} - \frac{x - a}{3 - x} = 1$ 有增根，则a的值.

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17. 如图，在 $R t △ A C B$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ， $B C = 4 \sqrt{3}$ ，以点C为圆心， $A C$ 的长为半径画弧，分别交 $A B$ ， $B C$ 于点D，E，以点E为圆心， $C E$ 的长为半径画弧，交 $A B$ 于点F，交 $\overset{⌢}{A E}$ 于点G，则图中阴影部分的面积为.

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18. 规定：在平面直角坐标系 $x O y$ 中，如果点P的坐标为 $(a ， b)$ ，那么向量 $\vec{O P}$ 可以表示为： $\vec{O P} = (a ， b)$ ，如果 $\vec{O A}$ 与 $\vec{O B}$ 互相垂直， $\vec{O A} = (x_{1} ， y_{1})$ ， $\vec{O B} = (x_{2} ， y_{2})$ 那么 $x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = 0$ .若 $\vec{O M}$ 与 $\vec{O N}$ 互相垂直， $\vec{O M} = (\tan α ， 1)$ ， $\vec{O N} = (1 ， - \sqrt{3})$ ，则锐角 $∠ α$ =.

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三、解答题

19.

(1)、计算： $3^{- 1} + | \sqrt{2} - 1 | - 2 \sin 45 ° + {(2 - π)}^{0}$

(2)、解分式方程： $\frac{x}{x - 1} + \frac{1}{2 - 2 x} = 3$

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20. 尺规作图：如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ .
求作：在 $A C$ 边上作一点D，在 $A B$ 边上作一点E，使 $C D = D E$ ，且 $D E ⊥ A B$ .（不写作法，保留作图痕迹）

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21. 如图，直线 $y_{1} = - x + 4$ ， $y_{2} = \frac{3}{4} x + b$ 都与双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 交于点 $A (1 ， m)$ ，这两条直线分别与x轴交于B，C两点.

(1)、求y与x之间的函数关系式；

(2)、若点P在x轴上，连接 $A P$ 把 $△ A B C$ 的面积分成1：4两部分，求点P的坐标.

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22. 某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中只选出一类最喜爱的电视节目，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分.根据以上的信息，回答下列问题：

(1)、被调查学生的总数为人，统计表中m的值为统计图中n的值为；

(2)、在统计图中，E类所对应扇形的圆心角的度数为；

(3)、喜爱体育电视节目的学生中有4人甲、乙、丙、丁在学校参加体育训练，现要从4个人中选拔两人参加市运动会，求出甲丙同时被选中的概率是多少？

类别	A	B	C	D	E
节目类型	新闻	体育	动画	娱乐	戏曲
人数	24	60	m	108	18

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23. 某超市经营款新电动玩具进货单价是15元.在1个月的试销阶段，售价是20元，销售量是200件.根据市场调查，销售单价若每再涨1元，1个月就会少售出5件.

(1)、若商店在1个月获得了2250元销售利润，求这款玩具销售单价定为多少元时，顾客更容易接受？

(2)、若玩具生产厂家规定销售单价不低于22元，且超市每月要完成不少于180件的销售任务，设销售单价为y（y为正整数）元，求该超市销售这款玩具有哪几种方案？哪一种方案利润最高？

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24. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，O为 $B C$ 上一点， $A O = B O$ ，且 $A C^{2} = B C \cdot C O$ ，以 $O C$ 为半径作圆O， $A O$ 交圆O于点E，延长 $A O$ 交圆O于点D，连接 $C D$ .

(1)、求证： $A B$ 是圆O的切线.

(2)、若 $\tan ∠ D = \frac{1}{2}$ ，圆O的半径为3，求 $A C$ 的长.

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25. 如图抛物线 $y = a x^{2} + b x$ ，过点 $A (2 ， 0)$ 和点 $B (3 ， \sqrt{3})$ ，四边形 $O C B A$ 是平行四边形，点 $M (t ， 0)$ 为边 $O A$ 上的点，点N为边 $A B$ 上的点，且 $A N = O M$ ，点D为抛物线的顶点.

(1)、求抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标；

(2)、当 $△ A M N$ 的周长最小时，求t的值；

(3)、如图2，过点M作 $M E ⊥ x$ 轴，交抛物线 $y = a x^{2} + b x$ 于点E，连接 $A E$ ，当以A、M、E为顶点的三角形与 $△ D O C$ 相似时.请直接写出所有符合条件的M点坐标.

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26. 如图，在 $△ A B C$ ， $A B = A C$ ， $∠ B A C = α$ ，过A作 $A D ⊥ B C$ 于D，点E为直线 $A D$ 上的一动点，把线段 $C E$ 绕点E顺时针旋转α，得到线段EF，连接 $F C$ ， $F B$ ，直线 $A D$ 与 $B F$ 相交于点G，与 $C F$ 交于点M.

(1)、（发现）如图1，当 $α = 60 °$ 时，填空：
① $\frac{A E}{B F}$ 的值为；

②∠AGB的度数为；

(2)、（探究）如图2，当 $α = 120 °$ 时，请写出 $\frac{A E}{B F}$ 的值及 $∠ A G B$ 的度数，并就图2的情形给出证明；

(3)、（应用）如图3，当 $α = 90 °$ 时，若 $A B = 4 \sqrt{3}$ ﹐ $∠ A C E = 15 °$ ，请直接写出 $△ D F G$ 的面积.

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