江苏省南通市海安市2020-2021学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-09-06 类型：期中考试

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一、单选题

1. 命题“ $\forall x \in R$ ， $x^{3} - x^{2} + 1 \leq 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{3} - x_{0}^{2} + 1 > 0$ B、 $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{3} - x_{0}^{2} + 1 \geq 0$ C、不存在 $x_{0} \in R ， x_{0}^{3} - x_{0}^{2} + 1 \leq 0$ D、 $\forall x \in R ， x^{3} - x^{2} + 1 > 0$

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2. 下列关于抛物线 $y = 2 x^{2}$ 的图象描述正确的是（）

A、开口向上，焦点为 $(0 ， \frac{1}{8})$ B、开口向右，焦点为 $(0 ， \frac{1}{8})$ C、开口向上，焦点为 $(0 ， \frac{1}{2})$ D、开口向右，焦点为 $(0 ， \frac{1}{2})$

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3. 一个各项均正的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两项之和，则公比 $q =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ D、 $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

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4. 在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢?

A、16 日 B、12 日 C、9 日 D、8 日

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5. 以双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是（）

A、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{8} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$

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6. 如果 $P$ 是 $Q$ 的必要不充分条件， $Q$ 是 $R$ 的充分必要条件， $S$ 是 $R$ 的充分不必要条件，那么 $P$ 是 $S$ 的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 设 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ 为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的两个焦点，若点 $P (0 ， 2 b)$ ， $F_{1} ， F_{2}$ 是等腰直角三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（）

A、 $y = \pm \sqrt{3} x$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{21}}{7} x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{21}}{3} x$

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8. 已知数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \log_{2} a_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ，其中 ${b_{n}}$ 是等差数列，且 $a_{9} \cdot a_{2012} = \frac{1}{4}$ ，则 $b_{1} + b_{2} + b_{3} + \dots + b_{2020} =$ （）

A、2020 B、 $-$ 2020 C、 $\log_{2} 2020$ D、1010

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二、多选题

9. 下列叙述中不正确的是（）

A、“ $a < 1$ ”是“方程 $x^{2} + x + a = 0$ 有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 B、若 $a ， b ， c \in R$ ，则“ $a b^{2} > c b^{2}$ ”的充要条件是“ $a > c$ ” C、“ $a > 1$ ”是“ $\frac{1}{a} < 1$ ”的充分不必要条件 D、若 $a ， b ， c \in R$ ，则“ $a x^{2} + b x + c \geq 0$ 对 $x \in R$ 恒成立”的充要条件是“ $b^{2} - 4 a c \leq 0$ ”

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10. (多选)设抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ .点 $M$ 在 $y$ 轴上，若线段 $F M$ 的中点 $B$ 在抛物线上，且点 $B$ 到抛物线准线的距离为 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ ，则点 $M$ 的坐标为

A、 $(0 ， - 1)$ B、 $(0 ， - 2)$ C、 $(0 ， 2)$ D、 $(0 ， 1)$

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11. 某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心 $F$ 为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点 $A$ （离地面最近的点）距地面 $m$ 千米，远地点 $B$ （离地面最远的点）距地面 $n$ 千米，并且 $F 、 A 、 B$ 三点在同一直线上，地球半径约为 $R$ 千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为 $2 a 、 2 b 、 2 c$ ，则（）

A、 $a - c = m + R$ B、 $a + c = n + R$ C、 $2 a = m + n$ D、 $b = \sqrt{(m + R) (n + R)}$

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12. 已知各项均为正项的等比数列 ${a_{n}}$ ， $a_{1} > 1$ ， $0 < q < 1$ ，其前 $n$ 和为 $S_{n}$ ，下列说明正确的是（）

A、数列 ${\ln a_{n}}$ 为等差数列 B、若 $S_{n} = A q^{n} + B$ ，则 $A + B = 0$ C、 $S_{n} \cdot S_{3 n} = S_{2 n}^{2}$ D、记 $T_{n} = a_{1} \cdot a_{2} \cdot \dots \cdot a_{n}$ ，则数列 ${T_{n}}$ 有最大值.

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三、填空题

13. 抛物线的准线方程是 $y = 1$ ，则其标准方程是.

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14. 已知命题“ $\exists x \in R$ ， $4 x^{2} + (a - 2) x + \frac{1}{4} < 0$ ”是假命题，则实数a的取值范围是.

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15. $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的左、右焦点，点 $P$ 在椭圆 $C$ 上， $| P F_{1} | = 10$ ，过 $F_{1}$ 作 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的角平分线的垂线，垂足为 $M$ ，则 $| O M |$ 的长为．

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和公式为 $S_{n} = n^{2}$ ，若 $b_{n} = 2^{a_{n}}$ ，则 $a_{n} =$ ；数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n} =$ ．

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四、解答题

17. 已知命题 $p ：$ “曲线 $C_{1} : \frac{x^{2}}{m^{2}} + \frac{y^{2}}{2 m + 8} = 1$ 表示焦点在 $x$ 轴上的椭圆”，命题 $q ：$ “曲线 $C_{2} : \frac{x^{2}}{m - t} + \frac{y^{2}}{m - t - 1} = 1$ 表示双曲线”．

(1)、若命题 $p$ 是真命题，求 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件，求 $t$ 的取值范围．

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18. 已知 ${a_{n}}$ 为等差数列，且 $a_{1} + a_{3} = 8 ， a_{2} + a_{4} = 12 ，$
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）记 ${a_{n}}$ 的前项和为，若 $a_{1} ， a_{k} ， S_{k + 2}$ 成等比数列，求正整数 $k$ 的值．

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19. 已知点 $F (1, 0)$ ，直线 $l : x = - 1$ ，动点 $P$ 到点 $F$ 的距离等于它到直线 $l$ 的距离．
(Ⅰ)试判断点 $P$ 的轨迹 $C$ 的形状，并写出其方程；

(Ⅱ)若曲线 $C$ 与直线 $m : y = x - 1$ 相交于 $A 、 B$ 两点，求 $Δ O A B$ 的面积.

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20. 设数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + 3 a_{2} + \dots + (2 n - 1) a_{n} = 2 n$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${\frac{a_{n}}{2 n + 1}}$ 的前n项和．

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21. 设椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个顶点与抛物线 $C ： x^{2} = 4 \sqrt{3} y$ 的焦点重合， $F_{1} ， F_{2}$ 分别是椭圆的左、右焦点，且离心率 $e = \frac{1}{2}$ ，过椭圆右焦点 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与椭圆交于 $M$ 、 $N$ 两点.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若 $\vec{O M} \cdot \vec{O N} = - 2$ . 求直线 $l$ 的方程；

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22. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} + a_{n} = 2 n + 3 (n \in N^{*})$ .

(1)、若数列 ${a_{n}}$ 是等差数列，求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若对任意的 $n \in N^{*}$ ，都有 $a_{n} + n^{2} \geq 0$ 成立，求 $a_{1}$ 的取值范围.

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