江苏省淮安市淮安区2020-2021学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-09-06 类型：期中考试

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一、单选题

1. 命题“ $\forall x \in R ， x^{2} - x + 1 > 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in R ， x^{2} - x + 1 \leq 0$ B、 $\forall x \in R ， x^{2} - x + 1 < 0$ C、 $\exists x_{0} \in R ， x_{0}^{2} - x_{0} + 1 \leq 0$ D、 $\exists x_{0} \in R ， x_{0}^{2} - x_{0} + 1 < 0$

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2. 设 $P$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 上的动点，则 $P$ 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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3. 已知集合 $A = {x {| x}^{2} - 2 x \geq 0}$ ， $B = {x | 0 < x < 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 1 ， 3)$ B、 $[2 ， 3)$ C、 $(0 ， 2]$ D、 $(2 ， 3)$

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4. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} + a_{4} = 4$ ， $a_{3} + a_{5} = 10$ ，则它的前10项的和 $S_{10} =$ （）

A、138 B、135 C、95 D、23

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5. 古代数学著作《九章算术》有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少?”根据上述已知条件，若要使织布的总尺数不少于30尺，则至少需要（）

A、6天 B、7天 C、8天 D、9天

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6. “x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（　　）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ， $a_{n} = 1 - \frac{1}{a_{n - 1}}$ ( $n \geq 2$ )，则 $a_{2021} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、-1 D、2

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8. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两焦点为 $F_{1} ， F_{2}$ ，若椭圆上存在点 $P$ ，使 $∠ F_{1} P F_{2} = 120^{\circ}$ ，则椭圆的离心率e的取值范围为（）

A、 $(0 ， \frac{\sqrt{3}}{2}]$ B、 $(0 ， \frac{3}{4}]$ C、 $[\frac{\sqrt{3}}{2} ， 1)$ D、 $[\frac{3}{4} ， 1)$

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二、多选题

9. 下列命题中的真命题是（）

A、 $\forall x \in R ， 2^{x - 1} > 0$ B、 $\forall x \in N^{*} ， {(x - 1)}^{2} > 0$ C、 $\exists x_{0} \in R ， \lg x_{0} < 1$ D、 $\exists x_{0} \in R ， \tan x_{0} = 2$

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10. 若 $x \geq y$ ，则下列不等式中正确的是（）

A、 $2^{x} \geq 2^{y}$ B、 $\frac{x + y}{2} \geq \sqrt{x y}$ C、 $x^{2} \geq y^{2}$ D、 $x^{2} + y^{2} \geq 2 x y$

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11. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为4，则能使椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的是（）

A、离心率为 $\frac{2}{3}$ B、椭圆 $C$ 过点 $(2 ， \frac{5}{3})$ C、 $5 a^{2} = 9 b^{2}$ D、长轴长为3

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12. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的公比 $q < 0$ ，等差数列 ${b_{n}}$ 的首项 $b_{1} > 0$ ，若 $a_{9} > b_{9}$ ，且 $a_{10} > b_{10}$ ，则下列结论一定正确的是（）

A、 $a_{9} a_{10} < 0$ B、 $a_{9} > a_{10}$ C、 $b_{10} > 0$ D、 $b_{9} > b_{10}$

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三、填空题

13. 椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的短轴长为.

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14. 已知 $x > 0 ， y > 0$ ，且 $x = \frac{1}{4 y}$ ，则 $x + y$ 的最小值是.

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15. “ $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 2 x - a < 0$ ” 为假命题，则实数 $a$ 的最大值为．

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16. 椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F₁ ， F₂ ．若|AF₁|，|F₁F₂|，|F₁B|成等比数列，则此椭圆的离心率为

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四、解答题

17. 用一根长为10米的绳子围成一个矩形，设矩形的一条边的长为 $x$ 米.

(1)、所围成的矩形的面积能否大于6平方米，若能，求出 $x$ 的范围；若不能，说明理由．

(2)、求所围成的矩形的面积的最大值.

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18. 记 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{1} = - 7$ ， $S_{5} = - 15$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 $S_{n}$ ，并求 $S_{n}$ 的最小值.

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19. 已知 $f (x) = - x^{2} + a x - 4$ .

(1)、若 $f (1) f (2) > 0$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、请在① $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ， $f (x) < 0$ 恒成立，② $\exists x \in (0 ， + \infty)$ ，使得 $f (x) > 0$ ，这两个条件中选择一个补充在下面的问题中，并解答问题.若 ▲ ，求实数 $a$ 的取值范围 .
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.

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20. 已知各项均不相等的等差数列 ${a_{n}}$ 的前4项和为10，且 $a_{1} ， a_{2} ， a_{4}$ 成等比数列.

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} (a_{n} + 1)}$ ，求 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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21. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，并且经过定点 $P (\sqrt{3} ， \frac{1}{2})$

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、设椭圆 $E$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ， $M (x_{0} ， y_{0})$ 为 $E$ 上的一点，若三角形 $M F_{1} F_{2}$ 为直角三角形，求 $y_{0}$ 的值.

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22. 如图， $F_{1} ， F_{2}$ 分别是椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（ $a > b > 0$ ）的左、右焦点， $A$ 是椭圆 $C$ 的顶点， $B$ 是直线 $A F_{2}$ 与椭圆 $C$ 的另一个交点， $∠ F_{1} A F_{2} = 60 °$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的离心率；

(2)、已知 $△ A F_{1} B$ 的面积为 $40 \sqrt{3}$ ，求a ， b的值．

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